TH1) bà Hai sinh năm 2000.
ta có: \(2+3\cdot0=2\) không chia hết cho 4 (loại).
TH2) Năm sinh của bà Hai nằm trong khoảng từ năm 1901 tới năm 1999 (Hai ông bà cùng sinh trong thế kỉ XX).
mà ông Hai sinh trước bà Hai 1 năm (bà Hai kém ông Hai 1 tuổi) và cả hai ông bà cùng sinh trong thế kỉ XX nên: năm sinh của ông Hai nằm trong khoảng từ 1901 tới 1998 và năm sinh của bà Hai nằm trong khoảng từ 1902 tới 1999.
Gọi năm sinh của ông Hai là: \(\overline{19cd}\) (c và d là các số từ 0 tới 9) , theo đề bài ta được 1+9+c+d chia hết cho 4
<=> 10+c+d chia hết cho 4
mà 10 chia 4 dư 2
=> c+d chia 4 dư 2
=> c+d-2 chia hết cho 4
=> \(c+d-2\in B\left(4\right)\)
+) Xét d=9 => \(c+7\in B\left(4\right)\)
mà \(7\le c+7\le16\) (c là các số từ 0 tới 9)
=> \(c+7\in\left\{8;12;16\right\}\)
+) Với c+7=8 => c = 1 => năm sinh của ông Hai là 1919 => năm sinh của bà Hai là 1920 (thỏa mãn)
+) Với c+7=12 => c =5 => năm sinh của ông Hai là 1959 => năm sinh của bà Hai là 1960 (thỏa mãn)
+) Với c+7 = 16 => c = 9 => năm sinh của ông Hai là 1999 (không thỏa mãn)
+) Xét \(0\le d< 9\)
Ta có năm sinh của bà Hai là \(\overline{19cd}+1=\overline{19c\left(d+1\right)}\) (ta đưa được 1 vào vì \(0\le d< 9\) => \(1\le d+1< 10\))
từ đề bài ta có được 1+9+c+d+1 chia hết cho 4 và 1+9+c+d chia hết cho 4.
=> 1 chia hết cho 4 (vô lý)
Vậy năm sinh của ông Hai là 1919 hoặc 1959.
