Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
🔺Đề kiểm tra cuối năm số 3 - bộ Cánh diều (phần tự luận) SVIP
Câu 1. Đội văn nghệ của nhà trường gồm $6$ học sinh lớp 12A, $4$ học sinh lớp 12B và $3$ học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
Hướng dẫn giải:
Chọn $5$ học sinh bất kì trong $13$ học sinh có $C_{13}^{5}=1287$ cách.
Xét bài toán "Chọn ra $5$ học sinh sao cho không đủ $3$ lớp".
TH1: Chọn $5$ học sinh trong $1$ lớp có $C_{6}^{5}=6$ cách.
TH2: Chọn $5$ học sinh gồm cả $2$ lớp A, B có $C_{10}^{5}-C_{6}^{5}=246$ cách.
Chọn $5$ học sinh gồm cả $2$ lớp A, C có $C_{9}^{5}-C_{6}^{5}=120$ cách.
Chọn $5$ học sinh gồm cả $2$ lớp B, C có $C_{7}^{5}=21$ cách.
Vậy số cách chọn ra $5$ học sinh sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn là $1287-6-246-120-21=894$ cách.
Câu 2. Cho tập hợp $A=\left\{ 1;\,\,2;\,\,3;...;\,\,90 \right\}$. Chọn từ $A$ hai tập con phân biệt gồm hai phần tử $\left\{ a,\,\,b \right\}$, $\left\{ c,\,\,d \right\}.$ Tính xác suất để cho trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập đều bằng $30$.
Hướng dẫn giải:
Gọi biến cố $B$: "Trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập được chọn đều bằng $30$".
Số cách chọn ra $2$ tập con phân biệt $\left\{ a,\,\,b \right\}$, $\left\{ c,\,\,d \right\}$ từ tập hợp $A$ là: $n\left( \Omega \right)=C_{C_{90}^{2}}^{2}=8018010$.
Các tập con: $\left\{ 1;59 \right\}, \, \left\{ 2;58 \right\}, \, ...\left\{ 29;31 \right\}$ thỏa mãn trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập đều bằng $30$.
Dễ thấy có tất cả là $29$ tập hợp, số cách chọn ra hai tập hợp trong các tập hợp này là $n\left( B \right)=C_{29}^{2}=406$.
Vậy xác suất sao cho trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập đều bằng $30$ là:
$P\left( B \right)=\dfrac{n\left( B \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{406}{8018010}=\dfrac{29}{572715}$.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A\left( 4;6 \right), \, B\left( -3;5 \right), \, C\left( 1;7 \right)$.
a) Viết phương trình đường tròn $\left( T \right)$ đi qua ba điểm $A, \, B, \, C$. Tìm tọa độ tâm $I$ và tính bán kính của đường tròn $\left( T \right)$.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến song song với trục tọa độ.
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình đường tròn có dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$.
Thay tọa độ $A, \, B, \, C$ ta được hệ $\left\{ \begin{aligned} & 52-8a-12b+c=0 \\ & 34+6a-10b+c=0 \\ & 50-2a-14b+c=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=1 \\ & b=2 \\ & c=-20 \\ \end{aligned} \right.$
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-20=0$.
Tâm $I\left( 1;2 \right)$, bán kính $R=5$.
b) Tiếp tuyến song song với $Ox$ có dạng $d: \, y-{c}'=0$.
Vì tiếp tuyến nên $d\left( I,d \right)=R\Leftrightarrow \left| 2-{c}' \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {c}'=7 \\ & {c}'=-3 \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy có hai tiếp tuyến $y-7=0;\,y+3=0.$.
Tương tự, tiếp tuyến song song với $Oy$ là $x+4=0;\,x-6=0.$.
Câu 4. Biết elip $\left( E \right): \, \dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$, $\left( a>b>0 \right)$ đi qua hai điểm $A\left( 2\,;\,0 \right)$, $B\left( 1\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$. Tìm $a\,;\,b$.
Hướng dẫn giải:
Vì elip $\left( E \right): \, \dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ đi qua hai điểm $A\left( 2\,;\,0 \right)$, $B\left( 1\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=1 \\ & \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{\dfrac{3}{4}}{{{b}^{2}}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{1}{{{b}^{2}}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=4 \\ & {{b}^{2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=2 \\ & b=1 \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy $a=2$, $b=1$.
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$: ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=2$ có tâm $I$ và điểm $M\left( -3;2 \right)$. Lập phương trình đường thẳng $d$ qua $M$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A, \, B$ sao cho diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d:\,a\left( x+3 \right)+b\left( y-2 \right)=0$ (điều kiện:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$).
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -2;2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$
$d\cap \left( C \right)$ tại hai điểm $A,\ B$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta IAB}}=\dfrac{1}{2}.IA.IB.\sin \widehat{AIB}$
$=\dfrac{1}{2}.{{R}^{2}}.\sin \widehat{AIB}\le \dfrac{1}{2}{{R}^{2}}$
${{S}_{\max }}=\dfrac{1}{2}{{R}^{2}}$ khi $\sin \widehat{AIB}=1\Leftrightarrow \widehat{AIB}={{90}^{0}}$.
$\Rightarrow \widehat{AIH}={{45}^{\circ}}$ ($H$ là trung điểm $AB$)
$\Rightarrow IH=AI.\cos {{45}^{\circ}}=\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1$
$\Rightarrow d\left( I;d \right)=IH=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=1\Leftrightarrow b=0$.
Chọn $a=1 \Rightarrow d: \, x+3=0$.