Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Phần tự luận (3 điểm) SVIP
Bài 1. Xác định parabol $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\left( a\ne 0 \right)$, biết đường thẳng $y=-2$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm có hoành độ $-1$ và $3$, đồng thời hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$.
Hướng dẫn giải:
Ta có đường thẳng $y=-2$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm có hoành độ $-1$ và $3$, đồng thời hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$ nên $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( 1;2 \right)$.
$\left( P \right)$ qua điểm $A\left( -1;-2 \right)$ và có đỉnh $I\left( 1;2 \right)$ nên
$\left\{ \begin{aligned} & -\dfrac{b}{2a}=1 \\ & a+b+c=2 \\ & a-b+c=-2 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 2a+b=0 \\ & a+b+c=2 \\ & a-b+c=-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-1 \\ & b=2 \\ & c=1 \\ \end{aligned} \right.$
Do $a=-1<0$ nên đồ thị $\left( P \right)$ quay bề lõm xuống dưới. Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$.
Vậy $\left( P \right): \, y=-{{x}^{2}}+2x+1$.
Bài 2. Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng $70$ m và chiều dài $250$ m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ $A$ đến $C$ và đua xe đạp tới $D$ như hình vẽ.
Lập hàm số biểu thị thời gian hoàn thành nội dung bài thi của vận động viên. Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ, khi bơi và khi đua xe lần lượt là $5$ m/s, $1,5$ m/s và $10$ m/s.
Hướng dẫn giải:
Gọi $B$ là vị trí vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và $AB=x$, $\left( 0<x<250 \right)$
Khi đó ta đó ${{t}_{1}}=\dfrac{AB}{{{v}_{1}}}=\dfrac{x}{5}$ là thời gian đi từ $A$ đến $B$
Đồng thời quãng đường bơi chính là $BC=\sqrt{{{70}^{2}}+{{\left( 250-x \right)}^{2}}}$
Suy ra ${{t}_{2}}=\dfrac{BC}{1,5}=\dfrac{\sqrt{{{70}^{2}}+{{\left( 250-x \right)}^{2}}}}{1,5}$là thời gian bơi từ $B$ đến $C$
Thời gian đua xe đạp là ${{t}_{3}}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{250}{10}=25s$
Tổng thời gian của vận động viên là $T={{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}=\dfrac{x}{5}+\dfrac{\sqrt{{{70}^{2}}+{{\left( 250-x \right)}^{2}}}}{1,5}+25$.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là $G$. Tìm tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi $I,\,\,K$lần lượt là trung điểm của $AC$, $BG$ và $D$ là điểm thỏa mãn
$3\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB} \right)+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{AB}$
Suy ra $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABID$.
Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$
$=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MB} \right|+3\left| 3\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA} \right)-2\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB} \right)+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC} \right|$
$=\left| 3\overrightarrow{MG}+3\overrightarrow{MB} \right|+3\left| 2\overrightarrow{MD}+3\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} \right|=\left| 3\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MB} \right) \right|+3\left| 2\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{0} \right|$
$=\left| 3.2\overrightarrow{MK} \right|+3\left| 2\overrightarrow{MD} \right|=6MK+6MD=6\left( MK+MD \right)\ge 6KD$
Suy ra $\left| \overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt nhỏ nhất bằng $6KD$ khi $M$ thuộc đoạn $KD$
Vậy tập hợp tất cả các điểm $M$ thỏa mãn đề bài là đoạn thẳng $KD$.