Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Phần tự luận (3 điểm) SVIP
Bài 1. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{x+9}{x-2m-1}$ xác định trên đoạn $\left[ 3;5 \right].$
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định của hàm số là $x-2m-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2m+1$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2m+1\notin \left[ 3;5 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2m+1<3 \\ & 2m+1>5 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<1 \\ & m>2 \\ \end{aligned} \right.$.
Bài 3. (1 điểm) Cho tam giác $ABC$, điểm $J$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KJ}$, $I$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $K$ thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $\left( 3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK} \right).\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)=0$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=4\overrightarrow{MK}$.
Lấy điểm $J$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KJ}$.
Ta có $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AC} \right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{4}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{2}$, mà $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KJ}$ nên
$\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{AK}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AK}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Mà $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.
Suy ra $J$ là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng $BC$ xác định bởi hệ thức $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.
Ta có $3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{MK}+3\overrightarrow{KJ}=3\overrightarrow{MJ}$.
Như vậy $\left( 3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK} \right).\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)=0\Leftrightarrow \left( 3\overrightarrow{MJ} \right).\left( 4\overrightarrow{MK} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MJ}.\overrightarrow{MK}=0$.
Từ đó suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn đường kính $JK$.
Vì $J$, $K$ là các điểm cố định nên điểm $M$ luôn thuộc một đường tròn đường kính $JK$.
Bài 3. (1 điểm) Một cửa hàng bán bánh có bán hai loại bánh A và bánh B. Để làm ra một phần bánh A, cửa hàng cần: 2 gam bột, 1 gam đường và 5 gam nhân bánh. Để làm ra một phần bánh B, cần: 1 gam bột, 2 gam đường và 5 gam nhân bánh. Biết rằng cứ một phần bánh A thì cửa hàng có lợi nhuận 16 nghìn đồng, một phần bánh B có lợi nhuận 20 nghìn đồng. Hỏi cửa hàng cần làm bao nhiêu phần bánh mỗi loại để lợi nhuận cao nhất? Biết trong kho cửa hàng chỉ còn dùng được tối đa 20 gam bột, 10 gam đường và 40 gam nhân bánh.
Hướng dẫn giải:
Gọi $x$, y$ lần lượt là số phần bánh loại A và loại B mà cửa hàng làm ra.
Theo đề bài, ta thấy
Để làm ra $x$ phần bánh loại A cần $2x$ gam bột, $x$ gam đường và $5x$ gam nhân bánh;
Để làm ra $y$ phần bánh loại B cần $y$ gam bột, $2y$ gam đường và $5y$ gam nhân bánh.
Lợi nhuận của cửa hàng là $F\left( x \right)=16x+20y$ ( nghìn đồng).
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} & 2x+y\le 20 \\ & x+2y\le 10 \\ & 5x+5y\le 40 \\ & x, \, y\in \mathbb{N} \\ \end{aligned} \right.$
Biểu diễn lên hệ trục $Oxy$, ta có miền nghiệm là tứ giác $OABC$, kể cả các cạnh của tứ giác (như hình vẽ) với $O\left( 0\,;\,0 \right)$, $A\left( 0\,;\,5 \right),$ $B\left( 6\,;\,2 \right),$ $C\left( 8\,;\,0 \right)$.
Ta tính lợi nhuận của cửa hàng tại tọa độ các đỉnh của miền nghiệm:
$F\left( 0\,;0 \right)=0$ nghìn đồng; $F\left( 0\,;5 \right)=100$ nghìn đồng
$F\left( 6\,;2 \right)=136$ nghìn đồng; $F\left( 8\,;0 \right)=128$ nghìn đồng
Vậy ta thấy, nếu cửa hàng làm $6$ phần bánh loại A và $2$ phần bánh loại B thì sẽ đạt được lợi nhuận cao nhất.