Gọi dãy số đấy là \(\overline{abcd}\) (a,b,c,d là số tự nhiên)
Từ đề bài ta có:
+ b=c+d (1)
+ a=\(\dfrac{c}{d}\) (2)
+ \(\overline{ab}+\overline{cd}=100\) (3)
+) Từ (3) => 10(a+c) + b+d = 100 (4)
ta có 100 chia hết cho 10, 10(a+c) chia hết cho 10
=> b+d chia hết cho 10
mà do b, d là các số từ 0 tới 9 nên ta có: \(0\le b+d\le18\)
=> \(b+d\in\left\{0,10\right\}\)
TH1) b+d=0
=> b=0, d = 0 (do b và d là các số tự nhiên)
kết hợp với điều kiện xác định của (2) là d \(\ne\) 0
=> loại TH b+d=0
TH2) b+d = 10
mà ta có 10(a+c) +b +d = 100
=> a+c=9 => c = 9 - a (5)
+) Ta có b+d=10 và b = c +d => c + 2d = 10
mà a + c = 9
=> a+1=2d => \(d=\dfrac{a+1}{2}\) (6)
Ta có (5), (6) và (2)
=> \(a=\dfrac{9-a}{\dfrac{a+1}{2}}=\dfrac{18-2a}{a+1}\) (a là số tự nhiên => a + 1 >0)
<=> \(a^2+a=18-2a\)
<=> \(a^2+3a-18=0\)
<=> (a-3)(a+6)=0
mà a là số tự nhiên => a + 6 > 0
=> a-3=0
=> a = 3
ta có c = 9 - a = 9 - 3 = 6
ta có d = \(\dfrac{a+1}{2}\) = \(\dfrac{3+1}{2}=2\)
ta có b = c + d = 6 + 2 = 8
Vậy số \(\overline{abcd}\) cần tìm là 3862
