Cho a,b,c là các số thực dương bất kì, chứng minh rằng:
\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{4}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
`Answer:`
`1.`
Xét `f(x)=0`
`<=>(x+3)(x^2+5x-6)=0`
`<=>x+3=0` hoặc `x^2+5x-6=0`
`<=>x=-3` hoặc `(x-1)(x+6)=0`
`<=>x=-3` hoặc `x=1` hoặc `x=-6`
`f(x)=(x+3)(x-1)(x+6)`
Vậy ta có:
`f(x)>0<=>x\in(-6;-3)∪(1;+oo)`
`f(x)<0<=>x\in(-oo;-6)∪(-3;1)`
`f(x)=0<=>x\in{-6;-3;1}`
`2.`
`=>S=(-2;-6)∪[-2;1)∪(1;3]`
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta được:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}\)sẽ lớn hơn hoặc bằng:
\(\frac{16}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=12\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh: \(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge18\)
Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
\(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge\frac{6}{ab+bc+ca}\ge\frac{6}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=18\)
Do đó ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
`Answer:`
`a.` Có `A(3;1),B(4;2)`
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\left(3;1\right)\\\overrightarrow{BA}=\left(x_A-x_B,y_A-y_B\right)=\left(-1;-1\right)\end{cases}}\)
`b.` Có \(\overrightarrow{OB}=\left(4;2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3.4+1.2=14\ne0\)
Vậy `OA` không vuông góc `OB`
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\)
Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\) cho các căn thức ở mẫu, khi đó ta được:
\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\ge\) với biểu thức
\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\)
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\ge\dfrac{3}{4}\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2a+3b+3c\\y=3a+2b+3c\\z=3a+3b+2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{1}{4}\left(3y+3z-5x\right)\\2b=\dfrac{1}{4}\left(3z+3x-5y\right)\\2c=\dfrac{1}{4}\left(3x+3y-5z\right)\end{matrix}\right.\)
Khi đó đẳng thức trên được viết lại thành:
\(\dfrac{3y+3z-5x}{4x}+\dfrac{3z+3x-5y}{4y}+\dfrac{3x+3y-5z}{4z}\ge\dfrac{3}{4}\)
Hay: \(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)-15\ge3\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cô si.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}\)
Khi đó bđt đã tro chở thành:
\(\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{xy}{z^2+3xy}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{xy}{z^2+3xy}\ge1-\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+3yz}+\dfrac{y^2}{y^2+3zx}+\dfrac{z^2}{z^2+3xy}\ge\dfrac{3}{4}\) (đpcm)