Do \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-1}{x^2-3x+2}=1\) hữu hạn nên \(f\left(x\right)-1=0\) có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-\sqrt{2-f\left(x\right)}}{1-x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-1+1-\sqrt{2-f\left(x\right)}}{1-x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{f\left(x\right)-1}{x^2-3x+2}.\dfrac{2-x}{x+1}+\dfrac{f\left(x\right)-1}{x^2-3x+2}.\dfrac{2-x}{\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{2-f\left(x\right)}\right)}\right)\)

\(=1.\dfrac{2-1}{1+1}+1.\dfrac{2-1}{\left(1+1\right).\left(1+\sqrt{2-f\left(1\right)}\right)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

Cách 2: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-1}{x^2-3x+2}=1\Rightarrow\) chọn \(f\left(x\right)=2-x\)

Khi đó:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2-x-\sqrt{x}}{1-x^2}=\dfrac{3}{4}\)

Câu 13: 

 Ta có công thức lãi kép: \(C=A\left(1+r\right)^N\) với C là số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi); A là số tiền gửi; r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

 a) Sau 2 năm số tiền cả vốn lẫn lãi ở quyển 1 là \(100\left(1+6,8\%\right)^2=114,0624\approx114\) (triệu đồng)

 \(\Rightarrow\) Khẳng định đúng

 b) Sau 2 năm số tiền cả vốn lẫn lãi ở quyển 2 là \(100\left(1+6\%\right)^2=112,36\) (tr đồng)

 Suy ra số tiền ở cả 2 quyển là \(114,0624+112,36=226,4224\) (tr đồng)

 \(\Rightarrow\) Khẳng định đúng. 

 c) Số tiền gửi sau \(N\) năm (kì) là:

 \(C=100\left(1+6,8\%\right)^N+100\left(1+6\%\right)^N\)

 Thế \(N\ge8\), ta có      \(C\ge100\left[\left(1+6.8\%\right)^8+\left(1+6\%\right)^8\right]\approx328,65>300\)

 \(\Rightarrow\) Khẳng định đúng.

 d) Ta nhắc lại rằng nếu theo ban đầu, sau 2 năm thì số tiền thu được sẽ là \(226,4224\) tr đồng.

 Theo tình huống mới, số tiền sau năm đầu ở quyển 1, 2 lần lượt là \(114,0624\) tr đồng và \(112,36\) tr đồng. Sau khi lấy 1 nửa số tiền từ đây chuyển sang quyển 2 thì lúc này quyển 1 còn \(57,0312\) tr đồng và quyển 2 có \(169,3912\) tr đồng. Sau năm thứ 2, quyển 1 có \(57,0312\left(1+6,8\%\right)=60,9093216\) (tr đồng), quyển 2 có \(169,3912\left(1+6\%\right)=179,554672\) (tr đồng). Do vậy cả 2 quyển có \(179,554672+60,9093216=240,4639936\) (tr đồng)

 \(\Rightarrow\)  Khẳng định đúng.

Câu 14:

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2-\sqrt{2-x}}{x+2}=\dfrac{2-\sqrt{2-1}}{1+2}=f\left(1\right)\) => Khẳng định đúng.

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^2+ax+2\right)=+\infty\) => Khẳng định sai.

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{2-\sqrt{2-x}}{x+2}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{4-\left(2-x\right)}{\left(x+2\right)\left(2+\sqrt{2-x}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{1}{2+\sqrt{2-x}}\) \(=\dfrac{1}{2+\sqrt{2-\left(-2\right)}}=\dfrac{1}{4}\)

=> Khẳng định đúng.

d) Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-2^-}\left(x^2+ax+2\right)=4-2a+2\)

 Để tồn tại \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)\) thì \(4-2a+2=\dfrac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow a=\dfrac{23}{8}\)

 Có \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{2-\sqrt{2-x}}{x+2}=\dfrac{1}{2}\)

 \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(x+a-b\right)=2+a-b\)

 Để tồn tại \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\) thì \(2+a-b=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow b=a+\dfrac{3}{2}=\dfrac{35}{8}\)

 Khi đó \(4\left(a+b\right)=4\left(\dfrac{23}{8}+\dfrac{35}{8}\right)=29\)

=> Khẳng định đúng

Để tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu, ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 40 và 49.

BCNN(40, 49) = 40 x 49 / UCLN(40, 49)

Để tính UCLN(40, 49), ta có thể sử dụng thuật toán Euclid:

49 = 40 x 1 + 9 40 = 9 x 4 + 4 9 = 4 x 2 + 1 4 = 1 x 4 + 0

UCLN(40, 49) = 1

Vậy BCNN(40, 49) = 40 x 49 / 1 = 1960

Do đó, số nguyên dương n nhỏ nhất để bảng vuông n x n có thể phủ được bằng các bảng vuông 40 x 40 và 49 x 49 là 1960.

Do tan(\(\pi\)/4) = 1

Suy rời khỏi \(\pi\)/4 là số vô tỷ và bởi vậy \(\pi\) là số vô tỷ

Vì sao \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\) lại suy ra được \(\dfrac{\pi}{4}\) vô tỉ thế bạn?