\(P=\frac{16a}{3}+\frac{1}{b}+\frac{4}{4c}\ge\frac{16a}{9}+\frac{16a}{9}+\frac{16a}{9}+\frac{9}{b+4c}\ge4\sqrt[4]{\frac{4096}{81}.\frac{a^3}{b+4c}}=\frac{32}{3}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{9}{8};\frac{9}{16}\right)\)

Áp dụng AM - GM 

\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2ab}}+\frac{1}{\sqrt{2bc}}+\frac{1}{\sqrt{2ca}}\)

\(abc=a+b+c+2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)

Với mọi số thực x,y,z ta có ngay:

\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{y+z}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z+x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=1\)

Khi đó ta có thể đặt được \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{y+z}{x};\frac{z+x}{y};\frac{x+y}{z}\right)\) 

Thay vào thì dễ có:

\(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy ...........................

\(b^4+c^4-bc\left(b^2+c^2\right)=\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2\)

\(\Rightarrow b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)

Tương tự\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+b^4+c^4}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\)

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)=1\)

oke rồi he

@Nub :v

Áp dụng Bunhiacopski ta dễ có:

\(\frac{a}{b^4+c^4+a}=\frac{a\left(1+1+a^3\right)}{\left(b^4+c^4+a\right)\left(1+1+a^3\right)}\le\frac{a^4+2a}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Tương tự:

\(\frac{b}{a^4+c^4+b}\le\frac{b^4+2b}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{c}{a^4+b^4+c}\le\frac{c^4+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cộng lại:

\(A\le\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Ta đi chứng minh:

\(\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\le1\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Cái này luôn  đúng theo Cauchy

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

05/04/2021ai thương mẹ thì gửi dòng chữ này cho 20 người , ai mà ko gửi mà xóa thì mẹ bạn sẽ chết trong vào 3 ngày , xin lỗi mĩnh cũng bị ép gửi , xin lỗi nhé vì tớ cũng thương mẹ Xin chào. Tôi là QuỳnhVõ Như Quỳnh , tôi đến Việt Nam khoảng 4 năm rồi, tôi làm chủ 1 đại lý vế số, tôi bị chết oan ,tôi có thể gửi tin nhắn cho bạn.Hãy tin tôi đi ! Bạn hãy gửi tin nhắn này cho 50 người để được may mắn Bạn ko tin tôi ư?1 cậu bé tên Ngọc đọc xong tin nhắn rùi cười nhạo, tối hôm cậu bé ấy bị xe tông chết.1 cô gái tên Mai đọc xong rồi gửi qua loa cho 20 người , cô ấy đã thi rớt đại học .1 cặp vợ chồng nhận được tin nhắn này liền gửi cho 50 người, 3 ngày sau hai vợ chồng trúng được 1 căn nhà trị giá 2000000000.Nếu bạn không gửi hoặc gửi qua loa thì sẽ bị giống mấy người trên .Lời nguyền sẽ bắt đầu khi bn đọc tin nhắn này . Nhanh tay lên .haha,chúc may mắn

1 mặt trời được hình thành từ lava và thiên thạch

2 muốn bt mặt trời nặng bao nhiêu thì mẹ hãy cho con bt cân nặng của trái đất và con người

3 có hoặc ko

4 có số miệng núi lửa bằng số cây trên trái đất

5 vì áp suất của ngoài vũ trụ chỉ cho phép toàn bộ hình tròn

6 có vì các điều đó  đều là sự thật

7 trái đất được tạo từ thiên thạch

8 vì trái đất là một hành tinh đặc bt như mẹ vậy

9 vậy con người hãy ngừng hoạt động các nhà máy

10 vì thiên nhiên giúp ta có thể sống , thở,....

mọi người có lắng nghe được vì mọi tiếng ồn của tự nhiên đều là lời nói của thiên nhiên

\(\hept{\begin{cases}x^2-xy+y^2=3\left(x-y\right)^2\\2x+2y=\left(x-y\right)^2\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2+xy=3\left(x-y\right)^2\\2\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}xy=2\left(x-y\right)^2\\2\left(x-y\right)+4y=\left(x-y\right)^2\end{cases}}\)

Đặt \(x-y\Rightarrow t\)thì pt tương đương :

\(\hept{\begin{cases}xy=2t^2\\2t+4y=t^2\end{cases}}\)

Xét pt 2 ta có : \(\Delta=4+16y\ge0< =>y\ge-\frac{1}{4}\) 

\(t_1=\frac{-2-\sqrt{4+16y}}{-2}=1-\frac{\sqrt{4+16y}}{-2}\)

\(< =>\)\(\hept{\begin{cases}x-y=1-\sqrt{4-16y}\\xy=2\left(1-2\sqrt{4-16y}+4-16y\right)\end{cases}}\)(giải cái này thì easy rồi nhỉ )

\(t_2=\frac{-2+\sqrt{4+16y}}{-2}=1+\frac{\sqrt{4+16y}}{-2}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x-y=1-\sqrt{4-16y}\\xy=2\left(1-2\sqrt{4-16y}+4-16y\right)\end{cases}}\)(tiếp tục giải cái này)

Vậy ta có 2 bộ số sau {...;...}

(E) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)

MF1 = MF2 => M thuộc đường trung trực của F1 F2 => M thuộc Oy 

=> M( 0; m ) 

Vì M thuộc E nên ta có: \(\frac{m^2}{4}=1\)=> m = 2 hoặc m = - 2

=> M(0; 2) hoặc M ( 0 ; -2)