Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là trực tâm ΔABC₁, ΔBCA₁, ΔCAB₁

Ta có : \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OH}_1\left(1\right)\)

\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}_1=\overrightarrow{OH}_2\left(2\right)\)

\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}_1=\overrightarrow{OH}_3\left(3\right)\)

Trừ theo vế (1) , (2) ta có :

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OH_1}+\overrightarrow{H_2O}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{H_2H_1}\)

TƯƠNG TỰ TRỪ THEO VẾ (2) , (3) ta được :

\(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{H_3H_2}\)

Lại có: AA1//BB1//CC1 (gt)

\(\Rightarrow\)vt AA1, vtA1A, vt B1B, CC1 cùng phương

\(\RightarrowĐPCM\)

WTF TÍNH GÌ VẬY CẬU

cậu tính được hok nè

a) Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AN}=\widebat{CN}\))

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{BM}\))

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => \(\frac{MN}{MC}=\frac{MI}{MK}\) => MN.MK = MC.MI

c) Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{MB}\))

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180o (1)

Xét đường tròn (O) có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ANK}=\widehat{ACM}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM}\right)\\\widehat{NAK}=\widehat{NCA}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung BẰNG NHAU}\widebat{AN}=\widebat{CN}\right)\end{cases}}\)

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180o (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi.

CÒN LẠI TỰ LÀM LÀM NHA

bằng cục ứt

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(VT=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{3}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{8}{\sqrt{3c+2a}}\)

\(\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)

\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+2\right)^2}{\sqrt{3c+2a}+\sqrt{b}}\)

\(\ge\frac{\left(1+2+1+2+2\right)^2}{2\sqrt{3c+2a}+3\sqrt{b}+\sqrt{a}}\)

\(\ge\frac{64}{\sqrt{\left(1+2^2+3\right)\left(a+2a+3c+3b\right)}}\)

\(=\frac{64}{\sqrt{24\left(a+c+b\right)}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}=VP\)

\(Ta \) \(có : x^2 +y^2 +xy = 1\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy = 1 - x^2 - y^2\)

\(Thay \)  \(xy = 1 - x^2 - y^2 \)  \(vào \)  \(P , ta \) \(được :\)

\(P = 1 - x^2 -y^2\)

\(P = 1 - ( x^2 +y^2 )\)

\(P = - ( x^2 +y^2 )+ 1\)\(\le\)\(1\)

\(Dấu "=" xảy \) \(ra\)  \(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2 =0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x = 0 \) \(và\)  \(y = 0\)

\(Max \)  \(P = 1 \)\(\Leftrightarrow\)\(x = 0 ; y = 0\)

Còn cho gì nữa ko ạ anh =.=

không bạn ạ