Chess960 (còn gọi là Fischer Random Chess) là một biến thể của cờ vua rất thú vị và được nhiều kì thủ ưa chuộng. Nó còn xuất hiện trong nhiều giải đấu lớn, đặc biệt là các giải đấu quốc tế. Chess960 được chơi trên bàn cờ tiêu chuẩn. Mỗi bên đều có 1 Vua, 1 Hậu, 2 Xe, 2 Tượng, 2 Mã và 8 Tốt. Cách xếp cờ của biến thể này như sau: Xếp 8 quân tốt ở hàng 2 (với quân trắng) và hàng 7 (với quân đen). Sau đó xếp các quân cờ còn lại ở vị trí ngẫu nhiên trên hàng 1 (với quân trắng) và hàng 8 (với quân đen) nhưng vẫn phải đảm bảo các điều kiện sau thì một cách xếp cờ của chess960 mới được xem là hợp lệ:

1. Vua của mỗi bên phải nằm giữa hai quân xe của mình.

2. Hai quân tượng của một bên phải nằm ở hai ô khác màu.

3. Các quân cờ của cả hai bên phải đối xứng nhau qua trục là đường nằm giữa hàng 4 và hàng 5.

 Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp cờ hợp lệ khi chơi chess960?

 Cho 2 số \(n,k\inℤ^+\) và S là tập hợp \(n\) điểm trên mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện sau:

 1. Không có 3 điểm nào trong S thẳng hàng.

 2. Với mọi điểm P thuộc tập S, tồn tại ít nhất \(k\) điểm khác trong S cách đều P.

Chứng minh rằng \(k< \dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\)

 Cho tập X. Tập lũy thừa của X, kí hiệu \(P\left(X\right)\) là tập hợp tất cả các tập con của X kể cả chính tập X và tập rỗng. (Ví dụ nếu tập \(X=\left\{1;2;3\right\}\) thì tập \(P\left(X\right)=\left\{\varnothing;\left\{1\right\};\left\{2\right\};\left\{3\right\};\left\{1;2\right\};\left\{2;3\right\};\left\{1;3\right\};X\right\}\))

 Chứng minh rằng nếu \(\left|X\right|=n\) thì \(\left|P\left(X\right)\right|=2^n\) với mọi \(n\inℕ\) 

(Kí hiệu \(\left|X\right|\) là số phần tử của tập X)