a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Xét ΔCMN vuông tại M và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{MCN}\) chung

Do đó: ΔCMN~ΔCAB

c: Ta có: \(\widehat{CAN}+\widehat{BAN}=\widehat{CAB}=90^0\)

\(\widehat{HAN}+\widehat{BNA}=90^0\)(ΔNHA vuông tại H)

mà \(\widehat{BAN}=\widehat{BNA}\)(ΔBAN cân tại B)

nên \(\widehat{CAN}=\widehat{HAN}\)

=>AN là phân giác của góc HAC

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3\cdot4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

...

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99\cdot100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

Do đó: \(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

=>\(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{2}\)

Sửa đề: Chứng minh \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1\)

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=1-\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

...

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99\cdot100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

Do đó: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

=>\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1-\dfrac{1}{100}< 1\)

  \(1+3+5+7+9+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}\)

=\(\left(1+2+5+7+9\right)+\left(\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

=\(24+\dfrac{5}{4}\)

=\(\dfrac{96}{4}+\dfrac{5}{4}\)

=\(\dfrac{101}{4}\)

Vận tốc của ô tô là:

\(135:2,25=60\) (km/h)

Vận tốc của xe máy là:

\(60:\dfrac{4}{3}=45\) (km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là:

\(135:45=3\) (giờ)

Ô tô đến trước xe máy số giờ là:

\(3-2,25=0,75\) (giờ)

Độ dài quãng đường AB là:

\(2\times60+3\times50=270\left(km\right)\)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi được số ki-lo-met là:

\(270:5=54\) (km/h)

Trung bình mỗi giờ đi được số ki-lô-mét là:

 ((2 x 60 + 3 x 50)) : 5 = 54(km)

   Đ/s : 54km

ΔABC cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI là phân giác của góc BAC

Xét ΔAID vuông tại D và ΔAIE vuông tại E có

AI chung

\(\widehat{IAD}=\widehat{IAE}\)

Do đó: ΔAID=ΔAIE

=>AD=AE

Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\)

mà AD<AB

nên DE<BC

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>\(a=bk;c=dk\)

\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{bk+b}{bk-b}=\dfrac{b\left(k+1\right)}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k+1}{k-1}\)

\(\dfrac{c+d}{c-d}=\dfrac{dk+d}{dk-d}=\dfrac{d\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k+1}{k-1}\)

Do đó: \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)