Lời giải:
a.

PT hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^2=3x+m^2-1$

$\Leftrightarrow x^2-3x-(m^2-1)=0(*)$

Ta thấy:

$\Delta=9+4(m^2-1)=4m^2+5>0$ với mọi $m$

$\Rightarrow$ PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow (P), (d)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm pb với mọi $m\in\mathbb{R}$
b.

$x_1,x_2$ là hoành độ giao điểm của $(P), (d)$, tức là $x_1,x_2$ là nghiệm của $(*)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=3$

$x_1x_2=1-m^2$

Khi đó:

$(x_1+1)(x_2+1)=1$

$\Leftrightarrow x_1x_2+(x_1+x_2)+1=1$

$\Leftrightarrow 1-m^2+3+1=1$

$\Leftrightarrow m^2=4\Leftrightarrow m=\pm 2$ (tm)

a: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH\(\perp\)AB tại H

Ta có: \(\widehat{OHS}=\widehat{OES}=\widehat{OFS}=90^0\)

=>O,H,S,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính OS
b: Xét (O) có

\(\widehat{SEA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến ES và dây cung EA

\(\widehat{EBA}\) là góc nội tiếp chắn cung EA

Do đó: \(\widehat{SEA}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔSEA và ΔSBE có

\(\widehat{SEA}=\widehat{SBE}\)

\(\widehat{ESA}\) chung

Do đó: ΔSEA~ΔSBE

=>\(\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SA}{SE}\)

=>\(SE^2=SA\cdot SB\)

a/ Ta có: ∠SEF = ∠SOF = 90° (do SE, SF là tiếp tuyến của đường tròn (O; R))
Do đó: ∠EHF = ∠SEF + ∠SOF = 180°
Suy ra: E, H, F cùng nằm trên một đường tròn. Vì ∠EHF = 180° nên H là tâm đường tròn đi qua E, F.
Ta có: ∠SHO = ∠SEO + ∠EOF = 90° + 90° = 180°
Suy ra: S, H, O cùng nằm trên một đường tròn. Vì ∠SHO = 180° nên H là tâm đường tròn đi qua S, O.
Vậy: S, E, H, O, F cùng nằm trên một đường tròn.

b/ Ta có: ∠ESB = ∠EAB (do ES, EB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R))
Do đó: ∆ESB ~ ∆EAB (theo góc - cạnh - góc)
Suy ra: ES/EA = SB/AB
Vì H là trung điểm của AB nên AH = HB = AB/2
Suy ra: ES² = EA.AB = 2EA.AH = SA.SB (do EA = SA - AH)

c/ Ta có: SO = 3R = 6cm
Do đó: d = 2SO = 12cm
Suy ra: Diện tích hình tròn ngoại tiếp từ giác SEOF là: π(d/2)² = π(12/2)² = 36π (cm²)

d/ Ta có: ∠SEF = 90°
Do đó: mỗi cung EF = 90°/360° = 1/4
Suy ra: Diện tích hình quạt tròn giới hạn 2 bán kính SE, SF và cung nhỏ EF là: 1/4π(SE)² = 1/4πR² = 1/4π(2)² = π (cm²

c: OS=3*2=6(cm)

=>R₁=6/2=3(cm)

Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác SEOF là \(3^2\cdot3,14=28,26\left(cm^2\right)\)

2: \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right):\dfrac{1}{x-1}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{x-1}{1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{x-1}{1}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}}\)

\(C=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{4}{x-4};\left(x\ge0;x\ne4\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\)

bgngnbvvbvcnnnbbbbbbbbbbbbb