Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n=3k$ với $k\in \mathbb{N}$.

=> Xét $k=2m$ thì $n=6m$ suy ra $n(n+1)=6m(6m+1)$ chia hết cho $6$.

=> Xét $k=2m+1$ thì $n=3(2m+1)=6m+3$.

Suy ra $n(n+1)=(6m+3)(6m+4)=3.(2m+1).2(3m+2)=6.(2m+1).(3m+2)$ chia hết cho $6$.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n(n+1)$ chia hết cho $6$.

Nếu n lẻ thì n3 lẻ
n lẻ <=> n =2k +1 (k ∈ Z)
n^3 =(2k +1)3 =8k3 +3.4k2 +3.2k +1=2( 4k3 +6k2 +3 k) +1
2( 4k3 +6k2 +3 k) chia hết cho 2 => là số chẵn 
=>2( 4k3 +6k2 +3 k) +1 là số lẻ => n3 lẻ