\(\Rightarrow3\left(a-b\right)=5\left(a-b\right)\) 

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)=0\Leftrightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\)

Từ

\(3\left(a-b\right)=\dfrac{a}{b}\Rightarrow\dfrac{a}{b}=0\Rightarrow a=0\)

\(\Rightarrow a=b=0\) mà \(b\ne0\)

=> Dãy đẳng thức trên không tồn tại

 

 

a/

Ta có

ABCD là HCN (gt) \(\Rightarrow BC\perp AB\)

\(SA\perp\left(ABCD\right);BC\in\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp AB;BC\perp SA\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(SB\in\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\) => tg SBC vuông tại B

b/ Chứng minh tương tự cũng có

\(CD\perp\left(SAD\right)\) mà \(SD\in\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp SD\) => tg SCD vuông tại D

c/

Ta có

\(BC\perp\left(SAB\right)\left(cmt\right);AH\in\left(SAB\right)\Rightarrow AH\perp BC\) 

mà \(AH\perp SB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\) mà \(SC\in\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow SC\perp AH\)

C/m tương tự ta cũng có \(SC\perp AK\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\)

d/

Ta có

\(SC\perp\left(AHK\right)\left(cmt\right);HK\in\left(AHK\right)\Rightarrow HK\perp SC\)

 

Đặt số thứ nhất là \(\overline{abcd}\) thì các số thứ 2; 3; 4 lần lượt là \(\overline{abc};\overline{ab};a\)

Theo đề bài có

\(\overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+a=2003\)

\(\Rightarrow1000xa+\overline{bcd}+100xa+\overline{bc}+10xa+b+a=2003\)

\(\Rightarrow1111xa+\overline{bcd}+\overline{bc}+b=2003\)

\(\Rightarrow1111xa\le2003\Rightarrow a< 2\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\overline{bcd}+\overline{bc}+b=2003-1111xa=2003-1111x1=892\)

\(\Rightarrow100xb+\overline{cd}+10xb+c+b=892\)

\(\Rightarrow111xb+\overline{cd}+c=892\)

Ta có \(c\ge0;d\ge0\Rightarrow111xb\le892\Rightarrow b\le8\)

Ta có \(c\le9;d\le9\Rightarrow111xb\ge892-99-9=784\Rightarrow b>7\)

\(\Rightarrow7< b\le8\Rightarrow b=8\)

\(\Rightarrow111x8+\overline{cd}+c=892\)

\(\Rightarrow\overline{cd}+c=892-888=4\Rightarrow c=0;d=4\)

\(\Rightarrow a=1;b=8;c=0;d=4\)

Thử

\(1804+180+18+1=2003\)

 

 

\(\Rightarrow100xa+10xb+c+10xa+b+a=111xa+11xb+c\)

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=927\)

+ Nếu \(a=9\)

\(\Rightarrow111xa+11xb++a=111x9+11xb+c=\)

\(=999+11xb+c>927\) => a=9 loại

+Nếu \(a=7\)

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=111x7+11xb+c=\)

\(=777+11xb+c\)

Ta có \(b\le9;c\le9\Rightarrow11xb+c\le99+9=108\)

\(\Rightarrow777+11xb+c\le777+108=885< 927\) => a=7 loại

=> a=8

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=111x8+11xb+c=927\)

\(\Rightarrow11xb+c=39\)

\(\Rightarrow11xb< 39\Rightarrow b\le3\)

Ta có 

\(11xb=39-c\) do \(c\le9\Rightarrow11xb\ge39-9=30\Rightarrow b\ge3\)

=> b=3

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=927\)

\(\Rightarrow111x8+11x3+c=927\Rightarrow c=6\)

Thử

\(836+83+8=927\)

\(\Rightarrow a=8;b=3;c=6\)

a/

Xét tg vuông ABD có

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{12}{13}\)

\(\sin\widehat{BAD}=\sin\left(\dfrac{\Pi}{2}-\widehat{B}\right)=\cos\widehat{B}\)

Ta có

\(\sin^2\widehat{B}+\cos^2\widehat{B}=1\Rightarrow\cos^2\widehat{B}=1-\sin^2\widehat{B}=1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2=\dfrac{25}{169}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{BAD}=\cos\widehat{B}=\sqrt{\dfrac{25}{169}}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{BAD}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BD}{13}=\sqrt{\dfrac{25}{169}}\)

\(\Rightarrow BD=13.\sqrt{\dfrac{25}{169}}=5cm\)

Xét tg cân ABC có

\(BD=CD=\dfrac{1}{2}BC\) (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow BC=2.BD=2.5=10cm\)

b/

Xét tg BDM có

\(BI=MI\left(gt\right);DI\perp BM\) => tg BDM cân tại D (trong tg đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

\(\Rightarrow DM=BD=\dfrac{1}{2}BC\)

c/

Ta có 

\(DM=BD\left(cmt\right);BD=CD\left(cmt\right)\Rightarrow DM=BD=CD\)

=> tg BDM và tg CDM đều là tg cân tại D

Xét tg BCM có

\(\widehat{BMC}=\left(\widehat{BMD}+\widehat{CMD}\right)=180^o-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BCM}\right)\)

Mà \(\widehat{BMD}=\widehat{ABC};\widehat{CMD}=\widehat{BCM}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{BMC}=180^o-\left(\widehat{BMD}+\widehat{CMD}\right)=180^o-\widehat{BMC}\)

\(\Rightarrow2\widehat{BMC}=180^o\Rightarrow\widehat{BMC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow CM\perp AB\)

Mà \(AD\perp BC\)

=> H là trực tâm của tg ABC \(\Rightarrow BN\perp AC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Xét tg vuông BCM và tg vuông BCN có

BC chung 

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

=> tg BCM = tg BCN (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow BM=CN\) mà AB=AC (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{CN}{AC}\) => MN//BC (Talet đảo) (1)

Xét tứ giác BDME có

BI=MI (gt); EI=DI (gt) => BDME là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> ME//BD (Trong hbh các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

=> ME//BC (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MN\equiv ME\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng cho trước)

=> E; M; N thẳng hàng

 

Đặt tuổi Hùng là 1 phần

|------| Tuổi Hùng

|------|------|------| Tuổi chị sau khi thêm 6 tuổi nữa

|------|------|------|------| Tuổi chị sau khi thêm 15 tuổi nữa

Nhìn vào sơ đồ đoạn thẳng giá trị 1 phần hay tuổi Hùng là

15-6=9 tuổi

Tuổi chị là

9x3-6=21 Tuổi