\(\)Đáp án: \(\dfrac{2013.2014.2015}{3}\)

Tổng quát: \(S_n=1.2+2.3+...\left(n-1\right).n\)

Ta sẽ chứng minh \(S_n=\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\) với mọi n nguyên, \(n\ge2\) bằng quy nạp.

- Với \(n=2:S_2=1.2=2=\dfrac{1.2.3}{3}\)

- Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k:S_k=\dfrac{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}{3}\)

- Với \(n=k+1:\)

 \(S_{k+1}=1.2+2.3+...+\left(k-1\right).k+k.\left(k+1\right)\\ =S_k+k.\left(k+1\right)\\ =\dfrac{\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)}{3}+k.\left(k+1\right)\\ =\dfrac{\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)+3.k.\left(k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{3}\left(\text{dpcm}\right)\)

Vậy \(D=S_{2014}=\dfrac{2013.2014.2015}{3}\)

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x}{20}=\dfrac{2y}{14}=\dfrac{4x-2y}{20-14}=\dfrac{-36}{6}=-6\\ \Rightarrow4x=20.\left(-6\right)=-120;2y=14.\left(-6\right)=-84\\ \Rightarrow x=-30;y=-42\)

\(-\dfrac{7}{12}< \dfrac{x}{40}< -\dfrac{8}{15}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{70}{120}< \dfrac{3x}{120}< -\dfrac{64}{120}\)

\(\Leftrightarrow-70< 3x< -64\\ \Leftrightarrow-\dfrac{70}{3}< x< -\dfrac{64}{3}\\ \Leftrightarrow x=-22\)

Vậy \(x=-22\)

Để tạo một cây kem thì phải chọn vị và topping, theo đó:

- Có 2 cách chọn vị(vani và socola)

- Có 2 cách chọn topping(hạt rắc và dâu tây)

Nên có 2.2=4 cách để tạo ra một cây kem thỏa yêu cầu đề bài.

a, Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0\) nên \(A=\left(x-2\right)^2+24\ge24\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy GTNN của A là 24 khi x=2.

b,Vì \(-x^2\le0\) nên \(B=-x^2+\dfrac{13}{5}\le\dfrac{13}{5}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi: \(-x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy GTLN của B là \(\dfrac{13}{5}\) khi x=0