Lấy \(H,I,K\) trên \(AB,BC,CA\) sao cho \(DH,EI,FK\) tương ứng vuông góc với \(AB,BC,CA\). Lấy \(G\) đối xứng với \(E\) qua \(BC\). Gọi \(AG\) cắt \(DF\) tại \(J\).

Ta thấy \(\Delta BGC=\Delta BEC\sim\Delta BDA\sim\Delta AFC\). Suy ra \(\Delta BDG~\Delta BAC\sim GFC\). Từ đây \(\dfrac{DG}{AC}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{AF}{AC}\Rightarrow DG=AF\). Tương tự thì \(FG=AD\). Do đó \(ADGF\) là hình bình hành. Suy ra \(J\) là trung điểm của \(DF,AG.\) 

Ta có \(IK||AB\) do \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{EB^2}{EC^2}=\dfrac{AF^2}{AC^2}=\dfrac{KA}{KC}\) và \(IH||AC\)

Suy ra \(\Delta DHI\sim\Delta IKF\) vì \(\widehat{DHI}=\widehat{IKF}=90^0+\widehat{BAC}\) và \(\dfrac{DH}{IK}=\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{AK}{KF}=\dfrac{HI}{KF}\) . Do vậy:\(\widehat{DIF}=\widehat{DIH}+\widehat{HIK}+\widehat{KIF}=\widehat{DIH}+\widehat{BAC}+\widehat{DHI}=180^0-\left(90^0+\widehat{BAC}\right)+\widehat{BAC}=90^0\)Xét \(\Delta AGE\) có đường trung bình \(IJ\). Suy ra \(AE=2IJ\)

Xét \(\Delta DIF\) có \(\widehat{DIF}=90^0\), \(J\) là trung điểm của \(DF\). Suy ra \(DF=2IJ\)

Vậy \(DF=AE.\)