1) Gọi các số thỏa mãn là \(\overline{abcdef}\)

Số cách chọn vị trí của 3 chữ số 2 là \(C^3_6\)

Số cách chọn vị trí của 2 chữ số 1 là \(C^2_3\)

Số cách chọn 2 chữ số còn lại: \(4^2\)

\(\Rightarrow\) Có tất cả \(C^3_6.C^2_3.4^2=960\) số thỏa ycbt

2) Tập con X bất kì của A muốn thỏa mãn ycbt thì đk cần là phải có ít nhất 1 và nhiều nhất 7 phần tử.

 TH1: \(X=\left\{2\right\}\) -> Có 1 tập X

 TH2: \(X=\left\{2;a_1\right\}\) -> Có \(C^1_6\) tập X

 TH3: \(X=\left\{2;a_1;a_2\right\}\) -> Có \(C^2_6\) tập X

 ...

 TH7: \(X=\left\{2;a_1;...;a_6\right\}\) -> Có \(C^6_6\) tập X

 \(\Rightarrow\) Có tất cả \(1+C^1_6+C^2_6+...+C^6_6=2^6=32\) tập hợp thỏa ycbt.

3) Gọi số thỏa mãn ycbt là \(\overline{abcde}\)

Số cách chọn 2 vị trí của 2 chữ số lẻ liền nhau là 3 cách.

TH1: \(a,b\) lẻ thì có \(P^2_3=6\) cách chọn cặp \(\left(a;b\right)\), bộ \(\left(c;d;e\right)\) có \(P^3_4=24\) cách chọn => Có \(6.24=144\) số

TH2: \(b,c\) lẻ thì cũng có \(P^2_3=6\) cách chọn cặp \(\left(b;c\right)\), còn bộ \(\left(a;d;e\right)\) có \(3.3.2=18\) cách chọn => Có \(6.18=108\) số

TH3: \(c,d\) lẻ thì tương tự TH2, có 108 số.

\(\Rightarrow\) Có tất cả \(144+108+108=360\) số thỏa mãn ycbt.

Câu này đáp án người ta ra sai thôi em, kết quả đúng là \(M\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right)\)

a.

Đường thẳng d qua điểm có tọa độ \(\left(-2;1\right)\) và nhận \(\left(5;1\right)\) là 1 vtcp nên nhận \(\left(1;-5\right)\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(1\left(x+2\right)-5\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-5y+7=0\)

b.

Do \(\Delta_1\) song song d nên \(\Delta_1\) cũng nhận (1;-5) là 1 vtpt

Phương trình:

\(1\left(x+3\right)-5\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow x-5y+33=0\)

c.

Do \(\Delta_2\) vuông góc d nên \(\Delta_2\) nhận (5;1) là 1 vtpt

Phương trình:

\(5\left(x+3\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow5x+y+9=0\)

d.

Do \(\Delta_2\) vuông góc d và đi qua A nên giao điểm H của \(\Delta_2\) và d là hình chiếu của A lên d

Tọa độ H là nghiệm của hệ: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x-5y+7=0\\5x+y+9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(-2;1\right)\)

e.

Do \(\Delta_3\) song song d nên nhận (1;-5) là 1 vtpt

Phương trình \(\Delta_3\) có dạng: \(x-5y+c=0\) với \(c\ne7\)

\(d\left(A;\Delta_3\right)=3\sqrt{26}\Leftrightarrow\dfrac{\left|-3-5.6+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-5\right)^2}}=3\sqrt{26}\)

\(\Leftrightarrow\left|c-33\right|=78\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-45\\c=111\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x-5y-45=0\\x-5y+111=0\end{matrix}\right.\)

 Kí hiệu R, B, Y lần lượt là các viên bi màu đỏ, xanh, vàng.

TH1: Chọn ra bộ RRBY** với * khác R:

=> Có \(C^2_7.8.6.C^2_{12}=66528\) cách

TH2: Chọn ra bộ RRRBY* với * khác R:

=> Có \(C^3_7.6.8.12=20160\) cách

TH3: Chọn ra bộ RRRRBY:

=> Có \(C^4_7.6.8=1680\) cách

 Vậy có tất cả \(66528+20160+1680=88368\) cách chọn thỏa mãn ycbt.

 TH1: Trong 4 bi được chọn có đủ 3 màu, trong đó có 2 bi màu xanh: Có 6 cách chọn bi xanh thứ nhất, 5 cách chọn bi xanh thứ hai, 7 cách chọn bi đỏ, 8 cách chọn bi vàng \(\Rightarrow\) Có \(6.5.7.8=1680\) cách. Nhưng vì đếm theo cách này, mỗi cách chọn bi phân biệt sẽ bị lặp lại \(4!=24\) lần nên có tất cả \(\dfrac{1680}{24}=70\) cách chọn phân biệt.

TH2: Trong 4 bi được chọn có đủ 3 màu, trong đó có 2 bi màu đỏ: Có 7 cách chọn bi đỏ thứ nhất, 6 cách chọn bi đỏ thứ hai, 6 cách chọn bi xanh, 8 cách chọn bi vàng \(\Rightarrow\) Có \(7.6.6.8=2016\) cách \(\Rightarrow\)Có tất cả \(\dfrac{2016}{24}=84\) cách chọn phân biệt.

 TH3: Trong 4 bi được chọn có đủ 3 màu, trong đó có 2 bi màu vàng: Có 8 cách chọn bi vàng thứ nhất, 7 cách chọn bi vàng thứ hai, 6 cách chọn bi xanh, 7 cách chọn bi đỏ \(\Rightarrow\) Có \(8.7.6.8=2688\) cách \(\Rightarrow\)Có tất cả \(\dfrac{2688}{24}=112\) cách chọn phân biệt.

Vậy có tất cả \(70+84+112=266\) cách chọn.

Xếp 9 nam có 9! cách

9 bạn nam tạo thành 10 khe trống, xếp 6 nữ vào 10 khe trống đó, có: \(A_{10}^6\) cách

Theo quy tắc nhân, có \(9!.A_{10}^6\) cách xếp sao cho 2 nữ ko cạnh nhau