Đặt $A=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}$

Ta thấy:

$\frac{1}{2!}=\frac{1}{1.2};\frac{1}{3!}=\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}<\frac{1}{2.3};...;\frac{1}{100!}=\frac{1}{\mathrm{1.2...100}}<\frac{1}{99.100}$

Cộng vế với vế ta được:

$A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}$

$\Rightarrow A<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$\Rightarrow A<1-\frac{1}{100}<1$

Vậy $\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<1$ (Đpcm)

lỗi phân số dấu __ nha 

4. Gọi số chi tiết máy trong tháng thứ nhất mà tổ 1, tổ 2 sản xuất được lần lượt là \(x,y\) (chi tiết máy; \(x,y\in\mathbb{N}^*\))

Vì trong tháng thứ nhất, cả hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy nên ta có phương trình: \(x+y=800\)  (1)

Số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng thứ hai là: \(x\left(100\%+15\%\right)=1,15x\) (chi tiết máy)

Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ hai là: \(y\left(100\%+20\%\right)=1,2y\) (chi tiết máy)

Vì trong tháng thứ hai, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có phương trình: \(1,15x+1,2y=945\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=800\\1,15x+1,2y=945\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=300\left(tm\right)\\y=500\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy trong tháng thứ nhất tổ 1 sản xuất được 300 sản phẩm, tổ 2 sản xuất được 500 sản phẩm.

5. Gọi số chiếc áo tổ thứ nhất, tổ thứ hai may được trong một ngày lần lượt là \(x,y\) (chiếc áo; \(x,y\in\mathbb{N}^*\))

Vì mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo nên ta có phương trình: \(y-x=20\) (1)

Số chiếc áo tổ thứ nhất may được trong 7 ngày là: \(7x\) (chiếc)

Số chiếc áo tổ thứ hai may được trong 5 ngày là: \(5y\) (chiếc)

Vì nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo nên ta có phương trình: \(7x+5y=1540\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}y-x=20\\7x+5y=1540\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=120\left(tm\right)\\y=140\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy trong một ngày tổ thứ nhất may được 120 chiếc áo; tổ thứ hai may được 140 chiếc áo.

A = 5¹⁰⁰ - 5⁹⁹ + 5⁹⁸ - 5⁹⁷ + ... + 5² - 5

5A = 5¹⁰¹ - 5¹⁰⁰ + 5⁹⁹ - 5⁹⁸ + ... + 5³ - 5²

5A + A = 5¹⁰¹ - 5

6A = 5¹⁰¹ - 5

A = \(\dfrac{5^{101}-5}{6}\)

\(\text{Đặt }A=5^{100}-5^{99}+5^{98}-5^{97}+...+5^2-5\\5A=5^{101}-5^{100}+5^{99}-5^{98}+...+5^3-5^2\\5A+A=(5^{101}-5^{100}+5^{99}-5^{98}+...+5^3-5^2)+(5^{100}-5^{99}+5^{98}-5^{97}+...+5^2-5)\\\\6A=5^{101}-5\\\Rightarrow A=\frac{5^{101}-5}{6}\)

Mỗi ngăn có số quyển là:
\(135:9=15\) (quyển)

Bốn ngăn trên có số quyển là:
\(15\times4=60\) (quyển)

Năm ngăn trên có số quyển là:

\(15\times5=75\) (quyển)

Đáp số:...

Mỗi ngăn có số quyển sách là:

     135 : 9 = 15 (quyển)

4 ngăn trên có số quyển sách là:

     15 x 4 = 60 (quyển)

5 ngăn dưới có số quyển sách là:

     15 x 5 = 75 (quyển)

         Đ/s:.....

\(7B=7^2+7^3+...+7^{100}\)

\(7B-B=7^2+7^3+...+7^{100}-\left(7+7^2+...+7^{99}\right)=7^{100}-7\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{7^{100}-7}{6}\)

\(B=7+7^2+7^3+...+7^{99}\\7B=7^2+7^3+7^4+...+7^{100}\\7B-B=(7^2+7^3+7^4+...+7^{100})-(7+7^2+7^3+...+7^{99})\\6B=7^{100}-7\\\Rightarrow B=\frac{7^{100}-7}{6}\)

Đề chưa được rõ bạn ơi!

​

D phải bằng một biểu thức nào nữa chứ em ha!

\(3A=3+3^2+3^3+...+3^{2025}\)

\(3A-A=3+3^2+3^3+...+3^{2025}-\left(1+3+3^2+...+3^{2024}\right)=-1+3^{2025}\)

\(A=\dfrac{-1+3^{2025}}{2}\)

\(A=1+3+3^2+...+3^{2024}\\ 3A=3+3^2+3^3+...+3^{2025}\\ 3A-A=\left(3+3^2+3^3+...+3^{2025}\right)-\left(1+3+3^2+...+3^{2024}\right)\\ 2A=3^{2025}-1\\ A=\dfrac{3^{2025}-1}{2}\)

625 ml

Ta thấy lượng muối ko thay đổi

Lượng muối trong nước biển là:

500.4%=20(g)

Lượng nước biển sau khi được đổ thêm nước tinh khiết là:

20:2%=1000(g)

Lượng nước tinh khiết cần đổ thêm là:

1000-500=500(g)

500g=500ml

Đáp số:500ml

`#3107.101107`

\(\left(3^2\right)^4\div27\\ =3^{2\cdot4}\div3^3\\ =3^8\div3^3\\ =3^{8-3}=3^5\)

\(\dfrac{\left(3^2\right)^4}{27}=\dfrac{3^{2\cdot4}}{27}=\dfrac{3^8}{3^3}=3^{8-3}=3^5\)