\(\left(2024^2+2022^2+2020^2+...+2^2\right)-\left(2023^2+2021^2+2019^2+...+1^2\right)\\ =\left(2024^2-2023^2\right)+\left(2022^2-2021^2\right)+\left(2020^2-2019^2\right)+...+\left(2^2-1^2\right)\\ =\left(2024-2023\right)\left(2024+2023\right)+\left(2022-2021\right)\left(2022+2021\right)+\left(2020-2019\right)\left(2020+2019\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)\(=1.\left(2024+2023\right)+1.\left(2022+2021\right)+1.\left(2020+2019\right)+...+1.\left(2+1\right)\)\(=1+2+...+2019+2020+2021+2022+2023+2024\)\(=\dfrac{\left(1+2024\right).2024}{2}=2049300\)

\(\left(2024^2+2022^2+2020^2+....+2^2\right)-\left(2023^2+2021^2+.....+1^2\right)\\ =2024^2+2022^2+2020^2+....+2^2-2023^2-2021^2-....-1^2\\ =\left(2024^2-2023^2\right)+\left(2022^2-2021^2\right)+.....+\left(2^2-1^2\right)\\ =\left(2024-2023\right)\cdot\left(2024+2023\right)+\left(2022-2021\right)\cdot\left(2022+2021\right)+.....+\left(2-1\right)\cdot\left(2+1\right)\\ =2024+2023+2022+2021+....+2+1\\ =\left(2024+1\right)\cdot\left[\left(2024-1\right):1+1\right]:2\\ =2025\cdot2024:2\\ =2049300\)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi x ( m ) là chiều dài ban đầu của khu vườn hình chữ nhật ( x∈N${}^{}$, x > 0 )

Gọi y ( m )  là chiều rộng ban đầu của khu vườn hình chú nhật ( y∈N${}^{}$ , y > 0 )

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200 m, nên ta có phương trình:

( x + y ) . 2 = 200 

⇔ 2x + 2y = 200 ( 1 )

Do mở rộng đường giao thông nông thôn nên chiều dài vườn giảm 8 m và biết diện tích đất còn lại là 2080 cm² dùng để trồng cây, nên ta có phương trình:

( x - 8 ) . y = 2080  ( 2 )

Ta có: ( 1 )

2x + 2y = 200 

⇔ x + y = 100 

⇔ x = 100 - y 

Thay y vào ( 2 ), ta được:

( 100 -  y  - 8 ) . y  = 2080 

⇔ 92y - y² = 2080

⇔ - y² + 92y - 2080 = 0 

Giải phương trình, ta được:

$\{\frac{y=52}{y=40}$ 

=> 100 - 52 = 48 ( nhận )

=> 100 - 40 = 60 ( nhận )

Vậy chiều dài là 60 m và chiều rộng là 48 - 8 = 40 m

a: Gọi giá niêm yết của 1 cái bút là x(đồng)

(Điều kiện: x>0)

Giá của 1 cây bút trong 30 cây bút đầu tiên là:

\(x\left(1-20\%\right)=0,8x\left(đồng\right)\)

Giá của 1 cây bút từ cây thứ 31 là:

\(0,8x\cdot\left(1-40\%\right)=0,48x\left(đồng\right)\)

Tổng số tiền là 900000 đồng nên ta có:

\(0,8x\cdot30+0,48x\cdot10=900000\)

=>24x+4,8x=900000

=>28,8x=900000

=>x=31250(nhận)

vậy: Giá niêm yết của 1 cây bút là 31250 đồng

b: Số tiền còn lại sau khi mua 40 cây đầu tiên là:

1260000-900000=360000(đồng)

Số cây bút còn lại mua được là:

360000:(0,48*31250)=24(cây)

Tổng số cây bút mua được là:

40+24=64(cây)

a: Xét ΔAMB vuông tại A và ΔIMA vuông tại I có

\(\widehat{AMB}\) chung

Do đó: ΔAMB~ΔIMA

b: Ta có:ABCD là hình vuông

=>AC\(\perp\)BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDCB vuông tại C có

\(\widehat{ODC}\) chung

DO đó: ΔDOC~ΔDCB

=>\(\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{OC}{CB}\)

=>\(DC\cdot CB=OC\cdot DB\)

c: Xét ΔHAB có

BI,AO là các đường cao

BI cắt AO tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔHAB

=>HK\(\perp\)AB

mà AB\(\perp\)AD

nên HK//AD

d:

M là trung điểm của AD

=>\(AD=2\cdot AM=60\left(cm\right)\)

=>AB=60(cm)

ΔABM vuông tại A

=>\(BM^2=AB^2+AM^2=60^2+30^2=4500\)

=>\(BM=\sqrt{4500}=30\sqrt{5}\left(cm\right)\)

ΔABM vuông tại A

=>\(S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AM=900\left(cm^2\right)\)

Xét ΔBIA vuông tại I và ΔBAM vuông tại A có

\(\widehat{IBA}\) chung

Do đó ΔBIA~ΔBAM

=>\(\dfrac{S_{BIA}}{S_{BAM}}=\left(\dfrac{BA}{BM}\right)^2=\left(\dfrac{60}{30\sqrt{5}}\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{4}{5}\)

=>\(S_{BIA}=\dfrac{4}{5}\cdot S_{BAM}=720\left(cm^2\right)\)

a/ Xét tg vuông AMB và tg vuông IMA có

$\widehat{MAI}=\widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$ )

=> tg AMB đồng dạng với tg IMA (g.g.g)

b/

Trong hình vuông hai đường chéo vuông góc với nhau

Xét tg vuông OBC và tg vuông CBD có

$\widehat{DBC}$ chung => tg OBC đồng dạng với tg CBD $\Rightarrow \frac{OC}{DC}=\frac{BC}{BD}\Rightarrow OC.BD=BC.DC\left(dpcm\right)$

c/ Kéo dài AH cắt CD tại N

Xét tg vuông ABM và tg vuông DAN có

$\widehat{DAN}=\widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$ )

AB=AD (cạnh hình vuông)

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DAN$ (Tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=DN mà $AM=\frac{AD}{2}$ Và AD=CD $\Rightarrow DN=\frac{AD}{2}=\frac{CD}{2}\Rightarrow DN=CN$

Xét tg ADC có

OA=OC (trong tg vuông hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => DO là trung tuyến của tg ADC

DN=CN (cmt) => AN là trung tuyến của tg ADC

=> H là trọng tâm của tg ADC $\Rightarrow \frac{HO}{DO}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{HO}{DH}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{HO}{1}=\frac{DH}{2}=\frac{HO+DH}{1+2}=\frac{OD}{3}$

Mà OD=OB $\Rightarrow \frac{DH}{2}=\frac{HO}{1}=\frac{OB}{3}=\frac{HO+OB}{1+3}=\frac{BH}{4}\Rightarrow DH=\frac{BH}{2}\Rightarrow BH=2.DH\left(dpcm\right)$

1: \(\left(2x+1\right)^2-2\left(2x+1\right)\left(3-x\right)+\left(x-3\right)^2\)

\(=\left(2x+1\right)^2+2\left(2x+1\right)\left(x-3\right)+\left(x-3\right)^2\)

\(=\left(2x+1+x-3\right)^2=\left(3x-2\right)^2=9x^2-12x+4\)

2: \(\left(x-1\right)^3-\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-\left(x^3+1\right)-\left(1-9x^2\right)\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-x^3-1-1+9x^2\)

\(=6x^2+3x-3\)

3: \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+3x\)

\(=x^3+8-x\left(x^2-1\right)+3x\)

\(=x^3+8-x^3+x+3x=4x+8\)

4: \(\left(3x-2\right)^2-3\left(x-4\right)\left(x+4\right)+\left(x-3\right)^2-\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(=9x^2-12x+4-3\left(x^2-16\right)+x^2-6x+9-\left(x^3+1\right)\)

\(=10x^2-18x+13-3x^2+48-x^3-1\)

\(=-x^3+7x^2-18x+12\)

5: \(\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2-3\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

\(=x^2+2x+1-x^2+2x-1-3\left(x^2-9\right)\)

\(=4x-3x^2+27\)

6: \(\left(x-1\right)^3-x\left(x-2\right)^2+x-1\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-x\left(x^2-4x+4\right)+x-1\)

\(=x^3-3x^2+4x-2-x^3+4x^2-4x\)

\(=x^2-2\)

7: \(\left(x+2\right)^3-x^2\left(x+6\right)-8\)

\(=x^3+6x^2+12x+8-x^3-6x^2-8\)

=12x

8: \(\left(x+y\right)^3-\left(x-y\right)^3-2y^3\)

\(=\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)-\left(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\right)-2y^3\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3-2y^3\)

\(=6x^2y\)

9: \(\left(x-1\right)^3-\left(x+1\right)^3+6\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-x^3-3x^2-3x-1+6\left(x^2-1\right)\)

\(=-6x^2-2+6x^2-6=-8\)

10: \(4x\left(3x-5\right)-2\left(4x+1\right)-x-7\)

\(=12x^2-20x-8x-2-x-7\)

\(=12x^2-29x-9\)

11: \(\left(3x+1\right)^2-2\left(3x+1\right)\left(5x+5\right)+\left(5x+5\right)^2\)

\(=\left(5x+5-3x-1\right)^2\)

\(=\left(2x+4\right)^2=4x^2+16x+16\)

12: \(\left(2x+3\right)^2+\left(2x+3\right)\left(2x-6\right)+\left(x-3\right)^2\)

\(=\left(2x+3\right)^2+2\cdot\left(2x+3\right)\left(x-3\right)+\left(x-3\right)^2\)

\(=\left(2x+3+x-3\right)^2=\left(3x\right)^2=9x^2\)

13: \(\left(x^2-2x+4\right)\left(x+2\right)-\left(x+1\right)^3+3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=x^3+8-x^3-3x^2-3x-1+3\left(x^2-1\right)\)

\(=-3x^2-3x+7+3x^2-3=-3x+4\)

14: \(\left(x-2\right)^2+2\left(x-2\right)\left(2x+2\right)+4\left(x+1\right)^2\)

\(=\left(x-2\right)^2+2\left(x-2\right)\left(2x+2\right)+\left(2x+2\right)^2\)

\(=\left(x-2+2x+2\right)^2=\left(3x\right)^2=9x^2\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{4}.\frac{1}{x^2+y^2}}=1$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\frac{3(x^2+y^2)}{4}=\frac{3(1+1)(x^2+y^2)}{8}\geq \frac{3(x+y)^2}{8}=\frac{3.2^2}{8}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow B\geq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy $B_{\min}=\frac{5}{2}$

Giá trị này đạt tại $x=y=1$

Xét tam giác AEB và tam giác CFD ta có 

AB = CD (tứ giác ABCD là hbn); ^ABE = ^CDF ( soletrong ) ; DF = BE (gt) 

Vậy tam giác AEB = tam giác CFD ( c.g.c ) 

=> AE = FC ( 2 cạnh tương ứng ) (1)

tương tự với tam giác AFD = tam giác EBC 

=> AF = EC (2) 

Từ (1) ; (2) => tứ giác AECF là hbh => AE // CF 

Xét tam giác AEB và tam giác CFD ta có 

AB = CD (tứ giác ABCD là hbn); ^ABE = ^CDF ( soletrong ) ; DF = BE (gt) 

Vậy tam giác AEB = tam giác CFD ( c.g.c ) 

=> AE = FC ( 2 cạnh tương ứng ) (1)

tương tự với tam giác AFD = tam giác EBC 

=> AF = EC (2) 

Từ (1) ; (2) => tứ giác AECF là hbh => AE // CF 

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{AC}{HA}\)

=>\(HA=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)

c: Xét ΔAHB có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{AH}{AB}\)(1)

Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{AH}{AB}\)(2)

Ta có: \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=\widehat{CAB}=90^0\)

\(\widehat{CDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(ΔHAD vuông tại H)

mà \(\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\)(AD là phân giác của góc BAH)

nên \(\widehat{CAD}=\widehat{CDA}\)

=>CA=CD(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{HC}{DC}\)

=>\(DH\cdot DC=HC\cdot DB\)

Lời giải:

Đổi 30p = 0,5 giờ

Thời gian xe đi: $\frac{AB}{40}$ (h) 

Thời gian xe về: $\frac{AB}{45}$ (h) 

Theo bài ra ta có: $\frac{AB}{40}-\frac{AB}{45}=0,5$

$\Leftrightarrow AB.\frac{1}{360}=0,5$

$\Leftrightarrow AB=0,5: \frac{1}{360}=180$ (km)

 Gọi \(P_i\) là biến cố: "Rút được tấm thẻ ghi số \(i\)." với \(5\le i\le8\)

 Theo đề bài, ta có: \(P_7=3P_4;P_5=4P_7;P_5=2P_8\). Khi đó \(P_5=12P_4,P_8=6P_4\)

 Vì \(P_4\cup P_5\cup P_7\cup P_8=\Omega\) và \(P_5,P_6,P_7,P_8\) độc lập từng đôi nên \(P_4+P_5+P_7+P_8=1\)

 Do đó \(P_4+12P_4+2P_4+6P_4=1\) \(\Leftrightarrow P_4=\dfrac{1}{21}\)

 \(\Rightarrow P_5=\dfrac{12}{21};P_8=\dfrac{6}{21}\)

 \(\Rightarrow P=P_5+P_8=\dfrac{18}{21}=\dfrac{6}{7}\) (P là xác suất cần tìm)