Cho tam giác ABC, phân giác AD. Vẽ đường tròn tâm O qua A và tiếp xúc với BC tại D cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a) EF//BC
b) AB.BE= BD^2
c) tam giác ADF đồng dạng với tam giác ABD
d) AD^2= AC.AE
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng công thức tính diện tích và lập tỉ số ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\\frac{y}{x+2}=\frac{3}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y=3\\3x-4y=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{18}{5}\\y=\frac{21}{5}\end{cases}}\)
Vậy phần diện tích cần tìm là \(x+y=\frac{18}{5}+\frac{21}{5}=\frac{39}{5}\)
C/m tổng quát : \(A=\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right)...\left(a^{2^n}+1\right)=\frac{a^{2^{n+1}}-1}{a-1}\)
Có : \(A=\frac{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{a-1}.\frac{\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)}{a^2-1}.\frac{\left(a^4+1\right)\left(a^4-1\right)}{a^4-1}...\frac{\left(a^{2^n}+1\right)\left(a^{2^n}-1\right)}{a^{2^n}-1}\)
\(=\frac{\left(a^2-1\right)\left(a^4-1\right)\left(a^8-1\right)...\left(a^{2^{n+1}}-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)\left(a^4-1\right)...\left(a^{2^n}-1\right)}=\frac{a^{2^{n+1}}-1}{a-1}\)(đpcm)
Với a = 2 ; n = 11 => \(A=2^{4096}-1\)
Answer:
a) Gọi PT đường thẳng AB là \(y=ax+b\)
Vì A thuộc AB
\(\Rightarrow-7=\frac{-2}{3}a+b\left(\text{*}\right)\)
Vì B thuộc AB
\(\Rightarrow1=2a+b\left(\text{*}\text{*}\right)\)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-5\end{cases}}\Rightarrow y=3x-5\)
b) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (P) và AB là \(-2x^2=3x-5\)
\(\Leftrightarrow2x^2+3x-5=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\Rightarrow y=-\frac{25}{2}\Rightarrow B\left(-\frac{5}{2};-\frac{25}{2}\right)\\x=1\Rightarrow y=-2\Rightarrow C\left(1;-2\right)\end{cases}}\)
Từ bất đẳng thức luôn đúng \(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(*)
Vì a, b là các số thực dương nên nhân cả 2 vế của (*) cho \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\), ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow P\ge\frac{4}{a+b}\)
Lại có \(a+b\le2\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Từ đó ta có \(P\ge\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)