b) Ta có: \(mn\left(m^2-n^2\right)=mn\left(m-n\right)\left(m+n\right)\)(*)

Xét tích (*), ta thấy khi m và n có cùng tinh chẵn lẻ thì m - n và m + n là số chẵn, từ đó (*)\(⋮2\)

Nếu chỉ có một trong hai số m và n là số chẵn, thì hiển nhiên (*) \(⋮2\)

Vậy (*) \(⋮2\)với mọi trường hợp m và n nguyên. (1)

Xét tiếp tích (*), ta thấy khi m và n có cùng số dư (là các cặp 0,0 ; 1,1 ; 2,2) khi chia cho 3 thì \(m-n⋮3\), từ đó (*) \(⋮3\)

Khi một trong hai số m và n chia hết cho 3 (là các cặp 0,1 ; 0,2) thì hiển nhiên (*) \(⋮3\)

Khi hai số m và n có tổng các số dư khi chia cho 3 là 3 (là cặp 1,2) thì \(m+n⋮3\), từ đó (*) \(⋮3\)

Vậy (*) \(⋮3\)với mọi trường hợp m và n nguyên. (2)

Mặt khác \(\left(2,3\right)=1\)(3) 

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\)(*) \(⋮2.3=6\)với mọi m và n nguyên \(\Rightarrow mn\left(m^2-n^2\right)⋮6\)với mọi m và n nguyên.

c) Đặt \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=k\left(k\inℤ\right)\)

Xét số k, ta thấy n và n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên trong hai số n và n + 1 luôn có một số là bội của 2

\(\Rightarrow k⋮2\)với mọi n nguyên (1)

Xét tiếp số k lần nữa, ta lại thấy khi n\(⋮3\)thì hiển nhiên \(k⋮3\)

Khi n chia 3 dư 2 thì \(n+1⋮3\),từ đó \(k⋮3\)

Khi n chia 3 dư 1 thì \(2n+1⋮3\), từ đó \(k⋮3\)

Vậy \(k⋮3\)với mọi n nguyên. (2)

Mà \(\left(2,3\right)=1\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow k⋮2.3=6\)với mọi n nguyên \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)với mọi n nguyên

a) Xét đường tròn (O) ta thấy hai điểm N và K đều nằm trên đường tròn nên đoạn NK là một dây của (O).

\(\Delta MNP\)cân tại N có đường cao NH (gt) \(\Rightarrow NH\)là trung trực của đoạn MP (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow NH\)đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MNP\)

\(\Rightarrow NK\)cũng đi qua O (vì N, H, K thẳng hàng)

NK là một dây (cmt) đi qua tâm O của đường tròn (O) (cmt) nên NK là đường kính của (O) (đpcm).

b) Nếu bạn này chưa học góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì tớ giải theo cách này:

Vì NK là đường kính của (O) (cmt) nên O là trung điểm NK, từ đó PO là đường trung tuyến hạ từ P của \(\Delta NPK\)

Mà \(P\in\left(O\right)\Rightarrow OP=ON\)(vì cùng bằng bán kính của (O))

Mặt khác \(ON=\frac{1}{2}NK\Rightarrow OP=\frac{1}{2}NK\)

\(\Delta NPK\)có trung tuyến PO đến NK chính bằng 1/2 NK nên \(\Delta NPK\)vuông tại P

\(\Rightarrow\widehat{NPK}=90^0\)

c) Vì NK là trung trực của đoạn MP (cmt) và NK cắt MP tại H nên H là trung điểm MP.

\(\Rightarrow HP=\frac{MP}{2}=\frac{24}{2}=12\left(cm\right)\)(vì MP = 24cm (gt))

\(\Delta NPH\)vuông tại H (vì NH là đường cao của \(\Delta MNP\))

\(\Rightarrow NP^2=NH^2+PH^2\left(đlPythagoras\right)\)

\(\Rightarrow NH^2=NP^2-PH^2\Rightarrow NH=\sqrt{NP^2-PH^2}=\sqrt{20^2-12^2}\)\(=\sqrt{\left(20-12\right)\left(20+12\right)}=\sqrt{8.32}=16\left(cm\right)\)

Vậy NH = 16cm

\(\Delta NPK\)vuông tại K có đường cao KH

\(\Rightarrow PH^2=NH.HK\left(htl\right)\Rightarrow HK=\frac{PH^2}{NH}=\frac{12^2}{16}=9\left(cm\right)\)

Lại có NK = NH + HK = 16 + 9 = 25 (cm)

Mà \(ON=\frac{NK}{2}=\frac{25}{2}=12,5\left(cm\right)\)

Nên bán kính của (O) là 12,5cm.

\(a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-ab=\left(c+d\right)^2-cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c-d\right)\left(a+b+c+d\right)=ab-cd\)

GIả sử \(a+b+c+d=p\)là số nguyên tố. 

Khi đó \(a+b+c\equiv-d\left(modp\right)\)

\(ab-cd\equiv0\left(modp\right)\Leftrightarrow ab+c\left(a+b+c\right)\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(c+a\right)\left(c+b\right)\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c+a⋮p\\c+b⋮p\end{cases}}\)

mà \(1< c+a,c+b< p\)do \(a,b,c,d\)nguyên dương nên mâu thuẫn. 

Do đó \(a+b+c+d\)không là số nguyên tố. 

Mà \(a+b+c+d>1\)nên \(a+b+c+d\)là hợp số.