a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBAC vuông tại A

=>BA\(\perp\)AC

mà BA//OK

nên OK\(\perp\)AC 

Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OK là đường cao

nên OK là phân giác của góc AOC

Xét ΔOCI và ΔOAI có

OC=OA

\(\widehat{COI}=\widehat{AOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOCI=ΔOAI

=>\(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}=90^0\)

=>IA là tiếp tuyến của (O)

b: Ta có: \(\widehat{ICK}+\widehat{OCK}=90^0\)

\(\widehat{ACK}+\widehat{OKC}=90^0\)(KO\(\perp\)AC)

mà \(\widehat{OCK}=\widehat{OKC}\)(OK=OC)

nên \(\widehat{ICK}=\widehat{ACK}\)

=>CK là phân giác của góc ACI

Lời giải:

a. Xét tứ giác $AHBC$ có $\widehat{BHC}=\widehat{BAC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $AHBC$ là tứ giác nội tiếp.

b.

Do $AHBC$ là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{EHA}=\widehat{ACB}=45^0$ (do $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$)

c.

Xét tam giác $EAH$ và $EBC$ có:

$\widehat{E}$ chung

$\widehat{EHA}=\widehat{ACB}=\widehat{ECB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle EAH\sim \triangle EBC$ (g.g)

d.

Xét tứ giác $ADHE$ có tổng hai góc đối $\widehat{EHD}+\widehat{DAE}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow ADHE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{EHA}=45^0$

Tam giác $EDA$ có $\widehat{A}=90^0$ và $\widehat{D}=45^0$ nên $EDA$ là tam giác vuông cân tại $A$

$\Rightarrow AD=AE$

a. Ta có ∠HAB = ∠HCB (cùng chắn cung HB) và ∠HBA = ∠HCA (cùng chắn cung HA). Do đó, tứ giác AHBC nội tiếp.

b. Góc AHE = 90° - ∠AEB = 90° - ∠ACB = ∠ABC = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A).

c. Ta có ∠EHA = ∠EBC (cùng chắn cung EB) và ∠EAH = ∠EBA = ∠EBC (vì tam giác ABC vuông cân tại A). Do đó, tam giác EAH và EBC đồng dạng.

d. Vì tam giác EAH và EBC đồng dạng nên EA/EB = AH/BC. Nhưng AH = BC (vì tam giác ABC vuông cân tại A) nên EA = EB. Mà AB = AE + EB = 2EA. Do đó, AD = AB/2 = EA = AE.

a: Gọi O là trung điểm của AC

=>O là tâm đường tròn đường kính AC

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>BC\(\perp\)AB tại B

Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>AD\(\perp\)DC tại D

Xét ΔAEF có

FB,ED là các đường cao

FB cắt ED tại C

Do đó: C là trực tâm của ΔAEF

=>AC\(\perp\)EF

b: Xét ΔDFC vuông tại D và ΔDEA vuông tại D có

\(\widehat{DFC}=\widehat{DEA}\left(=90^0-\widehat{BAD}\right)\)

Do đó;ΔDFC~ΔDEA

=>\(\dfrac{DF}{DE}=\dfrac{DC}{DA}\)

=>\(DF\cdot DA=DC\cdot DE\)

c: Xét tứ giác BDFE có \(\widehat{EDF}=\widehat{EBF}=90^0\)

nên BDFE là tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn với đường kính AC có các tính chất sau:

a. EF vuông góc với AC: Điều này có thể được suy ra từ tính chất của tứ giác nội tiếp, trong đó tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

b. DA . DF = DC . DE: Đây là một tính chất của tứ giác nội tiếp, nơi tích của độ dài hai cạnh không liên tiếp bằng nhau.

c. Tứ giác BDFE nội tiếp: Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp, trong đó tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

Bài 9:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(3x^2=2x-m\)

=>\(3x^2-2x+m=0\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì a*c<0

=>3m<0

=>m<0

Bài 8:
Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-2x^2=x+m-1\)

=>\(2x^2+x+m-1=0\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì a*c<0

=>2(m-1)<0

=>m-1<0

=>m<1

Thay x=-2 và y=0 vào (d), ta được:

\(-2\left(m+1\right)+m^2-4=0\)

=>\(m^2-4-2m-2=0\)

=>\(m^2-2m-6=0\)

=>\(m=1\pm\sqrt{7}\)

a: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác OCAD có

H là trung điểm chung của OA và CD

=>OCAD là hình bình hành

=>AD//CO

=>CO\(\perp\)DB

Xét (I) có

ΔOEB nội tiếp

OB là đường kính

Do đó: ΔOEB vuông tại E

Xét ΔCDB có

CO,BH là các đường cao

CO cắt BH tại O

Do đó: O là trực tâm của ΔCDB

=>DO\(\perp\)CB

mà OE\(\perp\)CB

và DO,OE có điểm chung là O

nên D,O,E thẳng hàng

Thay biểu thức này vào phương trình a + b + c = abc, ta được a + ac + c = ac^2.

Sắp xếp lại, ta có (a - ac)(1 - c) = 0.

Vì a > 0 nên (1 - c) phải bằng 0, từ đó suy ra c = 1.

Thay c = 1 vào biểu thức ac = b, ta được a * 1 = b hay b = a.

Vậy, để a đạt giá trị nhỏ nhất thì b và c phải thoả mãn điều kiện là b=c=1.

Xét (O) có

\(\widehat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat{CED}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\widehat{CBD}=\widehat{CED}\)

Xét ΔNEC và ΔNBD có

\(\widehat{NEC}=\widehat{NBD}\)

\(\widehat{ENC}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNEC~ΔNBD