a; Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

 \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) (vì BD là phân giác góc ABC)

   AB = BE (gt)

Cạnh BD chung

⇒ \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD (c-g-c) 

⇒\(\widehat{BED}\) = \(\widehat{BAD}\) = 90⁰

⇒DE  \(\perp\) BC 

b; Xét tam giác BEF và tam giác ABC có:

\(\widehat{BAC}\)  = \(\widehat{BEF}\) = 90⁰

AB = BE (gt)

\(\widehat{ABE}\) chung

⇒ \(\Delta\)FBE = \(\Delta\)CBA (g-c-g)

⇒ BC = BF

BC = BE + EC = AB + AF

⇒ AF = EC

c; Xét tam giác BCF có BC = BF (cmt)

⇒ \(\Delta\)BCF cân tại B 

BD là phân giác của góc B ⇒ BD là trung tuyến tam giác BCF

⇒BD \(\equiv\) BI ⇒ B;D;I thẳng hằng (vì qua một đỉnh chỉ kẻ được một đường trung tuyến của tam giác)

d; \(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{ECA}\) (góc ngoài của tam giác bằng hai góc trong không kề với nó)

 Xét tam giác ABE có: AB = BE (gt)

⇒ \(\Delta\)ABE cân tại B 

⇒ \(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{ECA}\) (đpcm)

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé. Viết thế này khó đọc quá.

Ta có: \(-3x=5y\Rightarrow\dfrac{-3x}{15}=\dfrac{5y}{15}\Rightarrow\dfrac{x}{-5}=\dfrac{y}{3}\Rightarrow\dfrac{x}{35}=\dfrac{y}{-21}\)(1)

\(-2y=7z\Rightarrow\dfrac{-2y}{14}=\dfrac{7z}{14}\Rightarrow\dfrac{y}{-7}=\dfrac{z}{2}\Rightarrow\dfrac{y}{-21}=\dfrac{z}{6}\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{x}{35}=\dfrac{y}{-21}=\dfrac{z}{6}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{35}=\dfrac{y}{-21}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{2x-3y+z}{2\cdot35-3\cdot-21+6}=\dfrac{42}{139}\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x}{35}=\dfrac{42}{139}\Rightarrow x=\dfrac{1470}{139}\)

\(\Rightarrow\dfrac{y}{-21}=\dfrac{42}{139}\Rightarrow y=-\dfrac{882}{139}\)

\(\Rightarrow\dfrac{z}{6}=\dfrac{42}{139}\Rightarrow z=\dfrac{252}{139}\) 

AC = \(\sqrt{BC^2-AB^2}\) = 12 (cm)

AD là trung tuyến, Ta có: \(AD^2=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2\right)-\dfrac{BC^2}{4}\)

=> AD = \(\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2\right)-\dfrac{BC^2}{4}}\)

=> AD = 6.5

Tương tự với BE, CF ta đc:

BE = \(\sqrt{61}\)

CF = \(\dfrac{\sqrt{601}}{2}\)

Đây chắc ko phải bài lớp 7

\(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}\)

\(\dfrac{x^2}{8:x}=\dfrac{y^2}{64:y}=\dfrac{x^2+y^2}{8:x+64:y}=\dfrac{20}{8:x+64:y}\)

\(8:x+64:y\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-5;5;-10;10;-20;20\right\}\)

Bạn kẻ bảng và xét từng trường hợp một, hoặc dùng phương pháp loại trừ để giảm số lượng thử trường hợp, khi đó ta tìm được.

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-4\end{matrix}\right.or\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, thu được:

\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{a+b+b+c+a+c}{c+a+b}\) \(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)

Trừ theo vế 2 hệ thức đầu tiên, ta có

\(\left(a+b\right)-\left(b+c\right)=2c-2a\)

\(\Leftrightarrow a-c=2\left(c-a\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow c=a\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(a=b=c\)

Do đó \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=1\)

Vậy \(P=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\)

\(=8\)

a) Có \(\dfrac{2x-y}{x+y}=\dfrac{2}{7}\) 

\(\Leftrightarrow7\left(2x-y\right)=2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow14x-7y=2x+2y\)

\(\Leftrightarrow12x=9y\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)

b) Ta có \(\dfrac{t}{y}=\dfrac{4}{9}\) và \(\dfrac{z}{t}=\dfrac{5}{8}\)

\(\Rightarrow\dfrac{t}{y}.\dfrac{z}{t}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{5}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{z}{y}=\dfrac{5}{18}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{z}=\dfrac{18}{5}\)

Lại có \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{18}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{z}=\dfrac{12}{5}\)