Một vùng nọ có 88 thành phố và giữa hai thành phố bất kì được kết nối bởi một tuyến bay trực tiếp (hai chiều). Ủy ban Hàng không dự kiến cấp phép cho 88 hãng hàng không khai thác các tuyến bay đó, một tuyến bay bất kì sẽ được cấp phép cho đúng một trong các hãng đó và mỗi hãng khai thác ít nhất một tuyến bay. Hơn nữa, người ta muốn rằng với 3 hãng hàng không bất kì, luôn tìm được 3 thành phố sao cho 3 tuyến bay trực tiếp kết nối chúng được khai thác bởi 3 hãng đó. Hỏi Ủ ban Hàng không có thể thực hiện điều đó hay không? 

  Cho \(2n\) \(\left(n\inℕ^∗\right)\) khối gỗ được đánh số \(1,1,2,2,3,3,...,n,n\) như sau:

            ...

  Ta cần xếp \(2n\) khối gỗ này vào một dãy gồm \(2n\) ô trống như bên dưới:

 ...

 Biết rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) Mọi ô trống đều có khối gỗ và chỉ 1 khối gỗ duy nhất.

ii) Có \(i\) ô ở giữa 2 ô chứa 2 khối gỗ được đánh số \(i\) \(\left(1\le i\le n\right)\). 

 Ví dụ: Với \(i=2\) thì 2 khối gỗ có thể xếp như sau:

...

a) Hãy chỉ ra 1 cách xếp thỏa mãn các điều kiện trên với \(n=3,n=4\).

b) Hỏi với \(n=2022\) thì có tồn tại cách xếp thỏa mãn đề bài hay không?

 (Câu hỏi này không đâu khác lại chính là từ em mình mà ra. Các bạn giúp mình với.)

 Với \(n>1\) là số nguyên dương cho trước, xét \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\) và \(\left(b_1,b_2,...,b_n\right)\) là hai hoán vị khác nhau của các số trong bộ \(\left(\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{n}\right)\), đồng thời thỏa mãn điều kiện \(a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge...\ge a_n+b_n\).

a) Với \(n=2022\), hỏi có hay không hai hoán vị mà \(a_i\ne b_i,\forall i=\overline{1,2022}\) và \(\dfrac{a_1+b_1}{a_{2022}+b_{2022}}\inℤ\)?

b) Chứng minh rằng ta luôn có \(a_k+b_k\le\dfrac{4}{k}\) với mọi \(k=1,2,...,n\)

c) Hỏi số 4 trong đánh giá ở b) có thể thay bởi số \(c< 4\) để các điều kiện vẫn được thỏa mãn hay không?

 Các bạn ơi, em mình mới hỏi mình 1 câu hỏi, mình thấy hay hay nên đăng lên đây mong các bạn chỉ giúp.

 Chẳng là em nhà mình đang chơi xếp hình với mấy khối gạch thì bỗng nó hỏi mình là: "Hai ơi, em muốn lấy một số viên gạch để em có thể vừa xếp được hình vuông, vừa xếp được hình tam giác. Em phải lấy bao nhiêu viên vậy hai?" Cũng may mà mình tìm được số 36 như sau:

 Thế là em mình mừng như mẹ đi chợ về. Nhưng còn mình lại nảy ra 1 câu hỏi mới, đó là những số như thế có phải hữu hạn hay không và chúng có dạng tổng quát nào hay không. Mong các bạn giúp mình (và giúp cho cả đứa em hay tò mò của mình) nữa nhé. Mình cảm ơn các bạn rất nhiều.

 Cho \(\Delta ABC\) ngoại tiếp đường tròn (I). Một đường tròn qua B, C cắt BI, CI lần tại P, Q sao cho \(BP.CQ=PI.QI\). Chứng minh rằng:

 a) \(\left(PQI\right)\) tiếp xúc với \(\left(ABC\right)\) (gọi tiếp điểm là T)

 b) IT đi qua trung điểm của đoạn PQ.