Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến MC, MD và cát tuyến MAB với đường tròn (A, B, C, D thuộc đường tròn và dây AB không đi qua O; A nằm giữa M và B). Gọi I là trung điểm của AB, H là giao điểm của MO và CD.

a) Chứng minh 5 điểm M, O, I, C, D cùng nằm trên một đường tròn;

b) Gọi E là giao điểm của 2 đường thẳng CD và OI, S là giao điểm của MI và EH. Chứng minh OS vuông góc với EM và MH.MO+EI.EO=ME²

c) Kẻ dây BN song song với CD. Chứng minh ba điểm  A, H, N thẳng hàng

Theo bổ đề (1) ta có 

\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}+\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}+\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)Mặt khác,theo BĐT AM-GM

\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}=\dfrac{4a+6b}{2}=2a+3b\)

\(\sqrt{3b^2+8c^2+14bz}=\sqrt{\left(3b+2c\right)\left(b+4c\right)}\le\dfrac{3b+2c+b+4c}{2}=\dfrac{4b+6c}{2}=2b+3c\)

\(\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}=\sqrt{\left(3c+2a\right)\left(c+4a\right)}\le\dfrac{3c+2a+c+4a}{2}=\dfrac{4c+6a}{2}=2c+3a\)

Kết hợp lại ta được:\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}+\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}+\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}\le5\left(a+b+c\right)\)

=> \(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{5}\)

Mà theo đề bài \(a+b+c\ge5925\)

=>\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{a+b+c}{5}\ge\dfrac{5925}{5}=1185\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=5925\\a=b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1975\)