I. Khái niệm cực đại, cực tiểuLuyện tập   

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Kiểm tra

 

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

    

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại $x=0$.Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại $x=1$.Hàm số không có điểm cực trị.Điểm $\left(0;1\right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số.Kiểm traIII. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

AHàm số đạt cực đại tại $x^1=0$ và đạt cực tiểu tại $x^2=\sqrt{3}$.BPhương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm là $x^1=0$ và $x^2=\sqrt{3}$.CHàm số có 3 cực trị.DHàm số đạt cực tiểu tại $x^1=-1$ và đạt cực đại tại $x^2=1$.Kiểm tra

 

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Kiểm traI. Khái niệm cực đại, cực tiểuLuyện tập   

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Kiểm tra

 

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

    

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại $x=0$.Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại $x=1$.Hàm số không có điểm cực trị.Điểm $\left(0;1\right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số.Kiểm traIII. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

AHàm số đạt cực đại tại $x^1=0$ và đạt cực tiểu tại $x^2=\sqrt{3}$.BPhương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm là $x^1=0$ và $x^2=\sqrt{3}$.CHàm số có 3 cực trị.DHàm số đạt cực tiểu tại $x^1=-1$ và đạt cực đại tại $x^2=1$.Kiểm tra

 

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Kiểm traI. Khái niệm cực đại, cực tiểuLuyện tập   

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Kiểm tra

 

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

    

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại $x=0$.Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại $x=1$.Hàm số không có điểm cực trị.Điểm $\left(0;1\right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số.Kiểm traIII. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

AHàm số đạt cực đại tại $x^1=0$ và đạt cực tiểu tại $x^2=\sqrt{3}$.BPhương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm là $x^1=0$ và $x^2=\sqrt{3}$.CHàm số có 3 cực trị.DHàm số đạt cực tiểu tại $x^1=-1$ và đạt cực đại tại $x^2=1$.Kiểm tra

 

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Kiểm traI. Khái niệm cực đại, cực tiểuLuyện tập   

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Kiểm tra

 

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

    

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại $x=0$.Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại $x=1$.Hàm số không có điểm cực trị.Điểm $\left(0;1\right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số.Kiểm traIII. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

AHàm số đạt cực đại tại $x^1=0$ và đạt cực tiểu tại $x^2=\sqrt{3}$.BPhương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm là $x^1=0$ và $x^2=\sqrt{3}$.CHàm số có 3 cực trị.DHàm số đạt cực tiểu tại $x^1=-1$ và đạt cực đại tại $x^2=1$.Kiểm tra

 

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Kiểm traI. Khái niệm cực đại, cực tiểuLuyện tập   

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Kiểm tra

 

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

    

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực tiểu bằng 1 tại $x=0$.Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại $x=1$.Hàm số không có điểm cực trị.Điểm $\left(0;1\right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số.Kiểm traIII. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

AHàm số đạt cực đại tại $x^1=0$ và đạt cực tiểu tại $x^2=\sqrt{3}$.BPhương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm là $x^1=0$ và $x^2=\sqrt{3}$.CHàm số có 3 cực trị.DHàm số đạt cực tiểu tại $x^1=-1$ và đạt cực đại tại $x^2=1$.Kiểm tra

 

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

 

Luyện tập   

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Kiểm tra

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

sdddssKiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

Kiểm tra

 

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

Kiểm tra

 

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

Kiểm tra

 

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

Kiểm tra

 

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

Kiểm tra

 

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

 

Luyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

 

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

 

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

 

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

 

Kiểm tra