Question

[Ngọc Vĩ]

giải pt :

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

ĐK: 2x + 3 \(\ge\) 0; x+ 1 \(\ge\) 0  => x \(\ge\) -1

Đặt \(t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\left(t\ge0\right)\)

=> \(t^2=3x+4+2.\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\)

PT đã cho trở thành: t = t ² - 20 <=> t² - t - 20 = 0 <=> t = 5 ; t = -4 

t = 5 thỏa mãn => \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\) (*)

Nhận xét : x = 3 là nghiệm của phương trình

+) x < 3 => \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\sqrt{9}+\sqrt{4}=5\)=>  x> 3 không là nghiệm của (*)

vậy PT có 1 nghiệm duy nhất x = 3

Answer 2

[Trí Tiên亗]

\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+3}=a\\\sqrt{x+1}=b\end{cases}\left(a,b\ge0\right)\Rightarrow}a^2+b^2-4=3x\)

Phương trình đã cho trở thành :

\(a+b=a^2+b^2-4+2ab-16\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-5\right)\left(a+b+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=5\\a+b=-4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a+b=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\)

\(\Leftrightarrow3x+4+2\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}=25\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}=21-3x\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}21-3x\ge0\\4.\left(2x+3\right)\left(x+1\right)=\left(21-3x\right)^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\4.\left(2x^2+5x+3\right)=441-126x+9x^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\x^2-146x+429=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\\left(x-3\right)\left(x-143\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\le7\\\orbr{\begin{cases}x=3\\x=143\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\\left(x-3\right)\left(x-143\right)=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\\orbr{\begin{cases}x=3\\x=143\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=3\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=3\)