CMR : Với mọi x và y ta luôn có
\(\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}\ge x+2y\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LV
8 tháng 5 2017
\(\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{3}+\frac{y^2}{1}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{2+2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y+y\right)^2}{3+1}}=\frac{x+2y}{2}+\frac{x+2y}{2}=x+2y\)
3 tháng 6 2020
đk: \(x+2y\ge0\)
\(x+2y=\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{3}+y^2}\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{4}}+\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{4}}=x+2y\)
\(\Rightarrow\)\(x=2y\)\(\Rightarrow\)\(x=3-y=3-\frac{x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{x}{2}=1\end{cases}}\)
BN
12
22 tháng 2 2022
Bài 1:
\(=\dfrac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
TD
1
5 tháng 10 2019
\(x^2+2y^2-2xy+2x-4y+2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2\left(x-y\right)+1+y^2-2y+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
=>................
9 tháng 2 2020
a,\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\\sqrt{x+y}=x^2-y\end{cases}}\)
ĐK: \(x+y\ge0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy+\frac{2xy}{x+y}=1\left(1\right)\\\sqrt{x+y}=x^2-y\left(2\right)\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=a\\2xy=b\end{cases}\left(a\ge0\right)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2-b+\frac{b}{a}=1\)
\(\Leftrightarrow a^3-ab-a+b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\a^2+a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x+y=1\left(3\right)\\\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)-xy=0\left(4\right)\end{cases}}\)
Thay (3) vào (2) ta được
\(x^2-y=1\Leftrightarrow y=x^2-1\)
\(\Rightarrow1-x=x^2-1\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=0\\x=-2\Rightarrow y=3\end{cases}}\)
Giải (4)
Ta có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2-xy>0\)
do đó (4) không xảy ra
Vậy..........
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\):
\(VT=\sqrt{\frac{x^2+\left(2y\right)^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+3\left(\frac{x}{2}+y\right)^2}{3}}\)
\(VT\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{4}}+\sqrt{\frac{3\left(\frac{x}{2}+y\right)^2}{3}}\)
\(VT\ge\left|\frac{x+2y}{2}\right|+\left|\frac{x+2y}{2}\right|=\left|x+2y\right|\ge x+2y\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2y\ge0\)
Cảm ươn nhiều ạ