Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Khi đó ta được: \(ab+bc+ca\ge ab;\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{a^2}\)
Do đó ta cần chứng minh \(ab\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\)hay \(\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)*đúng theo bất đẳng thức Cô - si*
Đẳng thức xảy ra khi \(a^2+b^2=3ab,c=0\)
Giả sử c = min(a,b,c), khi đó ab+bc+ca>=ab; 1/(b-c)^2>=1/b^2; 1/(c-a)^2>=1/a^2. Ta cần chứng minh: ab(1/(a-b)^2 +1/b^2 + 1/a^2 )>=4. Bằng cách biến đổi tương đương ta được: [ab/(a-b)^2 +a/b + b/a]>=4 <=> ab/(a-b)^2 +a/b+b/a-4>=0 <=>ab/(a-b)^2 + (a^2+b^2-4ab)/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +[(a-b)^2-2ab]/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +(a-b)^2/ab - 2 >=0 (1).
Đặt k = ab/(a-b)^2>=0 => (a-b)^2 = 1/k >0.
Áp dụng BĐT Cosi cho k và 1/k => k+1/k >=2 căn(k.1/k)=2 => k+1/k-2>=0 => (1) đã được chứng minh.
Vậy (ab+bc+ca)[1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2]>=4.
Dấu bằng xảy ra khi c = 0 và k=1/k => k^2=1 => a^2b^2=(a-b)^4 => (a-b)^2=ab => a^2+b^2-2ab=ab => a^2-3ab+b^2 = 0. Xem đây là PT bậc hai theo a với hệ số theo b. Lập Delta = 9b^2-4b^2 = 5b^2 => a = (3b+bcăn 5)/2 hoặc a = (3b-bcăn 5)/2.
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\cdot\frac{b+c}{4bc}}=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\cdot\frac{c+a}{4ca}}=\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\cdot\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Mà\(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)nên:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
hay\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
Bất đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(dễ chứng minh)
chứng minh tương tự ta có
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)\(\ge\)6
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge6^2=36\)(2) (a>0; b>0; c>0)
tiếp theo chứng minh
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18\ge2\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18a^2+18b^2+18c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (bất đẳng thức luôn đúng )
suy ra bất đẳng thức
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)luôn đúng (2)
từ (1) và (2) suy ra
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge\text{}\text{36}\ge\)\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)