Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD có độ dài không đổi và khác AB. Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên CD; H,K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B trên CD
a) Chứng minh I là trung điểm HK
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Chứng minh rằng Sacb + Sadb = IE.AB
c) Tìm vị trí dây CD để diện tích AHKB lớn nhất
cứu mình với huuhhu
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
5 tháng 3 2019
Ta có I thuộc đường tròn tâm O bán kính R = O A 2 - C D 2 4 = 1 2 4 O A 2 - C D 2
29 tháng 10 2023
a) Tam giác ABM vuông tại A có đường cao AC nên \(BC.BM=BA^2\). CMTT, \(BD.BN=BA^2\) nên \(BC.BM=BD.BN\Leftrightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BN}{BC}\). Từ đây dễ dàng suy ra \(\Delta BNM~\Delta BCD\left(c.g.c\right)\) (đpcm)
b) Ta có OQ//BN, OP//BM, mà \(MB\perp NB\) nên suy ra \(OP\perp BN\), từ đó O là trực tâm tam giác BPN.\(\Rightarrow ON\perp BP\)
Lại có \(QH\perp BP\) nên QH//ON.
Tam giác AON có Q là trung điểm AN, QH//ON nên H là trung điểm OA \(\Rightarrow AH=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R}{2}\) không đổi.
a) Ta thấy OI//AH//BK \(\left(\perp CD\right)\).
Xét hình thang ABKH (AH//BK), O là trung điểm AB. OI//AH \(\left(I\in HK\right)\) nên I là trung điểm HK.
b) Hạ \(CP\perp AB\) tại P, \(DQ\perp AB\) tại Q. Khi đó IE//CP//DQ \(\left(\perp AB\right)\).
Xét hình thang CDQP (CP//DQ) có I là trung điểm CD (hiển nhiên), IE//CP và \(E\in PQ\) nên IE là đường trung bình của hình thang CDQP \(\Rightarrow IE=\dfrac{CP+DQ}{2}\)
Lại có \(S_{ACB}=\dfrac{1}{2}AB.CP\), \(S_{ADB}=\dfrac{1}{2}.AB.DQ\)
\(\Rightarrow S_{ACB}+S_{ADB}=AB.\dfrac{CP+DQ}{2}=AB.IE\) (đpcm)
c) Ta có \(S_{AHKB}=\dfrac{AH+BK}{2}.HK=OI.HK\)
Do dây CD có độ dài không đổi nên khoảng cách từ O đến dây CD là OI cũng không đổi. Như vậy ta chỉ cần tìm vị trí của C để HK lớn nhất.
Thật vậy, dựng hình bình hành ABLH. Khi đó vì BK//AH nên \(L\in BK\). Đồng thời ta luôn có \(HK\le HL=AB\), suy ra \(S_{AHKB}\le OI.AB\).
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HK=HL\) \(\Leftrightarrow K\equiv L\) \(\Leftrightarrow\) AHKB là hình bình hành \(\Leftrightarrow\) HK//AB hay CD//AB \(\Rightarrow OI\perp AB\). Vậy C là điểm sao cho \(OI\perp AB\).
(Nếu muốn tìm cụ thể vị trí của C, thì mình nói luôn nó là điểm C sao cho \(sđ\stackrel\frown{AC}=180^o-2arc\cos\left(\dfrac{CD}{AB}\right)\) nhé. Chứng minh cái này dễ, mình nhường lại cho bạn.)
Chỗ vị trí C mình sửa lại là \(sđ\stackrel\frown{AC}=90^o-arc\sin\dfrac{CD}{AB}\) nhé.