K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
13 tháng 6 2020

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

22 tháng 2 2020

https://olm.vn/hoi-dap/detail/82505750499.html

22 tháng 2 2020

Ở mục câu hỏi tương tự có bài đó bạn ơi

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2020

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a}=a+b+c\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2020

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$\frac{a^2}{b}+b\geq 2a$

$\frac{b^2}{c}+c\geq 2b$

$\frac{c^2}{a}+a\geq 2c$

Cộng theo vế và thu gọn ta được:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

24 tháng 2 2022

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

9 tháng 2 2022

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)

\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\cdot\frac{b+c}{4bc}}=\frac{1}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\cdot\frac{c+a}{4ca}}=\frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\cdot\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)nên:

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) 

hay\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)

Bất đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

10 tháng 2 2022

bạn giỏi quá

Nguyễn Đăng Nhân

19 tháng 2 2022

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành:

\(\frac{a-b}{b}-\frac{a-b}{c}+\frac{c-a}{a}-\frac{c-a}{c}\ge\frac{\left(a-c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

Hay: \(\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{bc}+\frac{\left(c-a\right)^2}{ca}\ge\frac{\left(a-c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

Tiếp tục khai triển và thu gọn ta được:

\(\Leftrightarrow b\left(c-a\right)^2\left(b^2+ab+bc\right)\ge a\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-ac\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng hay bài toán được chứng minh xong.

NV
30 tháng 12 2020

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

NV
30 tháng 12 2020

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

NV
16 tháng 11 2019

\(\left(a+\frac{4b}{c^2}\right)\left(b+\frac{4c}{a^2}\right)\left(c+\frac{4a}{b^2}\right)\ge2\sqrt{\frac{4ab}{c^2}}.2\sqrt{\frac{4bc}{a^2}}.2\sqrt{\frac{4ac}{b^2}}=64\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\) ; \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\); \(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{2}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\ge\sqrt{2}.\frac{9}{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(1\right)\)

\(VP\le\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge VP\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)

1 tháng 1 2020

Akai Haruma dạ giúp em bài này vs ạ ...!!!

2 tháng 5 2020

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{9}{a+b+c}\le\frac{3}{ab+bc+ca}+2\)

Đặt a+b+c=t ta cần chứng minh \(\frac{6}{t^2-3}+2\ge\frac{9}{t}\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(t-3\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

2 tháng 5 2020

Ok thanks, mặc dù ngay chỗ cuối đúng thì phải là (2t+3)(t-3)>= 0
Nhưng hiểu rồi là OK :)