Question

[Nguyễn Hoàng Dương]

Cho tam giác ABC có phân giác AD, đường cao BH, trung tuyến CE đồng quy tại O. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Ai làm được mình tick nghen!

Answer 1

[Nguyễn Đức Hùng]

Lời giải:

Vì BI là phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABI}=\widehat{IBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$.

Vì CI là phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$.

Vì AI là phân giác của góc ACB nên $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\frac{\widehat{CAB}}{2}$.

Ta có: $\widehat{DIC}+\widehat{AIC}=180°$ (hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{DIC}=180°-\widehat{AIC}$ (1)

Trong ∆AIC có $\widehat{IAC}+\widehat{ICA}+\widehat{AIC}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=180°-\widehat{AIC}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Nên $\widehat{DIC}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{BCA}}{2}$.

Trong ∆CAB ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Nên $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°-\widehat{ABC}$

Suy ra

$\widehat{DIC}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{BCA}}{2}=\frac{180°-\widehat{ABC}}{2}=90°-\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (3)

Vì tam giác BIH vuông tại H nên $\widehat{HIB}+\widehat{HBI}=90°$.

Suy ra $\widehat{HIB}=90°-\widehat{HBI}=90°-\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{BIH}=\widehat{CID}$.

Vậy $\widehat{BIH}=\widehat{CID}$.