a/

\(\widehat{BAC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AB\perp AC\Rightarrow AI\perp AC\)

\(OE\perp AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với đường thẳng nối hai tiếp điểm) \(\Rightarrow OJ\perp AC\)

=> AI//OJ (cùng vuông góc với AC) (1)

\(\widehat{BAC}=90^o\) (cmt) \(\Rightarrow AC\perp AB\Rightarrow AJ\perp AB\)​

\(OD\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với đường thẳng nối hai tiếp điểm) \(\Rightarrow OI\perp AB\)

=> AJ//OI (cùng vuông góc với AB) (2)

=> AIOJ là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(\widehat{BAC}=90^o\) (cmt)

=> AIOJ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc trong bằng 90 độ là HCN)

b/

Ta có

IA=IB (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi đường thẳng nối hai tiếp điểm)

JA=JC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi đường thẳng nối hai tiếp điểm)

=> IJ là đường trung bình của tg ABC => IJ//BC

c/

G là trọng tâm tg ABC \(\Rightarrow OG=\dfrac{1}{3}AO\) không đổi

=> Khi A di chuyển trên đường tròn thì G di chuyển trên đường tròn đường kính OG

\(\widehat{BAC}=90^o\) 

\(2xy^2+2x+3y^2=4\left(x;y\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow2x\left(y^2+1\right)+3y^2+3-3=4\)

\(\Leftrightarrow2x\left(y^2+1\right)+3\left(y^2+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)\left(y^2+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right);\left(y^2+1\right)\in U\left(7\right)=\left\{-1;1-7;7\right\}\)

\(TH1:\left\{{}\begin{matrix}2x+3=-1\\y^2+1=-7\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(TH2:\left\{{}\begin{matrix}2x+3=1\\y^2+1=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-2\\y^2=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=\pm\sqrt[]{6}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(TH3:\left\{{}\begin{matrix}2x+3=-7\\y^2+1=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(TH1:\left\{{}\begin{matrix}2x+3=7\\y^2+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=4\\y^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\) thỏa điều kiện đề bài

2xy² + 2x + 3y² = 4

2xy² + 2x + 3y² + 3 = 4 + 3

(2xy² + 2x) + (3y² + 3) = 7

2x(y² + 1) + 3(y² + 1) = 7

(y² + 1)(2x + 3) = 7

TH1: 2x + 3 = 1 và y² + 1 = 7

*) 2x + 3 = 1

2x = -2

x = -1 (nhận)

*) y² + 1 = 7

y² = 6

y = ±√6 (loại)

TH2: 2x + 3 = -1 và y² + 1 = -7

*) 2x + 3 = -1

2x = -4

x = -2 (nhận)

*) y² + 1 = -7

y² = -8 (vô lý)

TH3: 2x + 3 = 7 và y² + 1 = 1

*) 2x + 3 = 7

2x = 4

x = 2 (nhận)

*) y² + 1 = 1

y² = 0

y = 0 (nhận)

TH4: 2x + 3 = -7 và y² + 1 = -1

*) 2x + 3 = -7

2x = -10

x = -5 (nhận)

*) y² + 1 = -1

y² = -2 (vô lý)

Vậy ta được cặp giá trị (x; y) thỏa mãn: (2; 0)

\(P=\dfrac{x^4+5x^3-20x^2-27x+30}{x^2+4x-21}\left(1\right)\)

Điều kiện xác định khi và chỉ khi

\(x^2+4x-21\ne0\)

\(\Leftrightarrow x^2+7x-3x-21\ne0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+7\right)-3\left(x+7\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+7\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne3\\x\ne-7\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài : \(\)

\(x=\sqrt[]{31-12\sqrt[]{3}}=\sqrt[]{27-12\sqrt[]{3}+4}=\sqrt[]{\left(3\sqrt[]{3}-2\right)^2}=\left|3\sqrt[]{3}-2\right|=3\sqrt[]{3}-2\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow P=\dfrac{x^4-3x^3+8x^3-24x^2+4x^2-12x-15x+45-15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x^3\left(x-3\right)+8x^2\left(x-3\right)+4x\left(x-3\right)-15\left(x-3\right)-15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x^3+8x^2+4x-15\right)-15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x^3+8x^2+4x-15}{x+7}-\dfrac{15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x^3+7x^2+x^2+7x-3x-15}{x+7}-\dfrac{15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x^2\left(x+7\right)+x\left(x+7\right)-3\left(x+7\right)+6}{x+7}-\dfrac{15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(x^2+x-3\right)\left(x+7\right)+6}{x+7}-\dfrac{15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=x^2+x-3+\dfrac{6}{x+7}-\dfrac{15}{\left(x-3\right)\left(x+7\right)}\)

Thay \(x=3\sqrt[]{3}-2\) vào \(P\) ta được

\(\Leftrightarrow P=\left(3\sqrt[]{3}-2\right)^2+3\sqrt[]{3}-2-3+\dfrac{6}{3\sqrt[]{3}-2+7}-\dfrac{15}{\left(3\sqrt[]{3}-2-3\right)\left(3\sqrt[]{3}-2+7\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=31-12\sqrt[]{3}+3\sqrt[]{3}-5+\dfrac{6}{3\sqrt[]{3}+5}-\dfrac{15}{\left(3\sqrt[]{3}-5\right)\left(3\sqrt[]{3}+5\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=26-9\sqrt[]{3}+\dfrac{6\left(3\sqrt[]{3}-5\right)}{\left(3\sqrt[]{3}+5\right)\left(3\sqrt[]{3}-5\right)}-\dfrac{15}{\left(3\sqrt[]{3}\right)^2-5^2}\)

\(\Leftrightarrow P=26-9\sqrt[]{3}+\dfrac{6\left(3\sqrt[]{3}-5\right)}{2}-\dfrac{15}{2}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{37}{2}-9\sqrt[]{3}+3\left(3\sqrt[]{3}-5\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{37}{2}-9\sqrt[]{3}+9\sqrt[]{3}-15\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{37}{2}-15=\dfrac{7}{2}\)

P = 7/2

 Đkxđ: \(x\ge1\). Đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right)\) và \(\sqrt[3]{2-x}=b\left(b\le1\right)\)

 Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=5\\a^2+b^3=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+5\\\left(b+5\right)^2+b^3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b^3+b^2+10b+24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+2\right)\left(b^2-b+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b=-2\) (do \(b^2-b+12>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{2-x}=-2\) \(\Leftrightarrow x=10\) (thỏa mãn)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=10\)

Phương pháp:

Biểu thức $\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định $\iff f\left(x\right)\ge 0.$

Cách giải:

a) $\sqrt{x-3}$                                                                  

Biểu thức $\sqrt{x-3}$  xác định $\iff x-3\ge 0$ $\iff x\ge 3.$

Vậy $x\ge 3$ thì biểu thức $\sqrt{x-3}$ xác định.

b) $\sqrt{-\frac{2}{2x-1}}$ 

Biểu thức $\sqrt{-\frac{2}{2x-1}}$ xác định $\iff -\frac{2}{2x-1}\ge 0$ $\iff 2x-1<0$ $\iff x<\frac{1}{2}$

Vậy với $x<\frac{1}{2}$ thì biểu thức $\sqrt{-\frac{2}{2x-1}}$ xác định.

a, \(\sqrt{x-3}\) 

điều kiện để biểu thức xác định là: 

    \(x-3\) ≥ 0

    \(x\ge\) 3

b, \(\sqrt{-2x^2-1}\)

Điều kiện để biểu thức trong căn xác định là:

     - 2\(x^2\) - 1 ≥ 0 

     ta có \(x^2\) ≥ 0 ∀ \(x\) 

      ⇒ -2\(x^2\) ≤ 0 ∀ \(x\) ⇒ -2\(x^2\) - 1 ≤ 0 ∀ \(x\)

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để biểu thức trong căn có nghĩa hay 

\(x\in\) \(\varnothing\) 

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

\(2.\left(a^2+15+b^2\right)\)

\(=2.\left(a^2.b^2.15\right)\)

\(=2a^2+2b^2+30\)

Đề bài yêu cầu gì thế em nhỉ

Đặt \(x^2+y^2=a\)

Khi đó ta được: \(P=\left(a+2\right)^3-\left(a-2\right)^3-12a^2\)

\(\Leftrightarrow P=a^3.6a^2+12a+8-a^3+6a^2-12a+8-12a^2\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^3-a^3\right)+\left(6a^2+6a^2-12a^2\right)+\left(12a-12a\right)+8+8\)

\(\Leftrightarrow P=16\)

Vậy \(P=16\) tại \(x=2019\) và \(y=2020\)

a)Ta có:

AO=BO=OC=DO (vì O là trung điểm của AC và BD)

AH=HI=IL=KL (vì H, I, K, L lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD, DA)

AO=AH+HO

BO=HI+HO

CO=IL+HO

DO=KL+HO

AH+HO=HI+HO=IL+HO=KL+HO

AH=HI=IL=KL

Vậy, bốn đoạn thẳng AH, HI, IL, KL bằng nhau và có chung điểm cuối H. Do đó, bốn điểm H, I, K, L cùng nằm trên một đường tròn có tâm O.

b) Ta có:

AH=HI=IL=KL=AC/2

AO=BO=OC=DO=AC/2

Gọi r là bán kính của đường tròn (O).

Từ các kết quả trên, ta có:

r=AC/2=4cm/2=2cm

Vậy, bán kính của đường tròn (O) là 2cm.

Bạn xem lại đề không hiểu các dâu hình chữ nhật sau ACB là gì?