Question

[Hồ Thúy]

câu 1. cho các số nguyên dương a,b biết rằng các hà số y=bx³+ax²+5x và hàm số y=ax³+bx²+5x không đồng biến trên khoảng(-vc;+ vc). hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2a+b

câu 2. gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (x+m)³(x+m³) đồng biến trên khoảng (-vc;+vc). hỏi S có bao nhiêu phần tử

#giúp e chi tiết 2 câu này với ạ

Answer 1

[Akai Haruma]

Câu 1:

Có \(\left\{\begin{matrix} y_1=bx^3+ax^2+5x\\ y_2=ax^3+bx^2+5x\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_1'=3bx^2+2ax+5\\ y_2'=3ax^2+2bx+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y_1'=3b\left [ \left ( x+\frac{a}{3b} \right )^2+\frac{5}{3b}-\frac{a^2}{9b^2} \right ]\\ y_2'=3a\left [ \left ( x+\frac{b}{3a} \right )^2+\frac{5}{3a}-\frac{b^2}{9a^2} \right ]\end{matrix}\right.\)

Để các hàm \(y_1,y_2\) không là hàm đồng biến thì \(y_1',y_2'\) không luôn lớn hơn $0$ với mọi \(x\in (-\infty,+\infty)\), tức là xảy ra cả trường hợp lớn hơn $0$ lẫn nhỏ hơn $0$ với mọi $x$. điều này xảy ra khi mà :

\(\left\{\begin{matrix} \frac{5}{3b}-\frac{a^2}{9b^2}<0\\ \frac{5}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 15b-a^2<0\\ 15a-b^2<0\end{matrix}\right.\)

\(\rightarrow a^4>225b^2>3375a\)

\(\Rightarrow a>15\) hay \(a\geq 16\). Tương tự, \(b\geq 16\)

Vì đề bài cần tìm min \(2a+b\) nên cần ưu tiên tính nhỏ hơn của $a$

Từ trên ta chọn \(a_{\min}=16\Rightarrow 15b<16^2=256\Rightarrow b\leq 17\)

Do đó \(16\leq b\leq 17\rightarrow b_{\min}=16\)

Do đó \(S_{\min}=(2a+b)_{\min}=48\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Để hàm số \(y=(x+m)^3(x+m^3)\) là hàm đồng biến thì \(y'>0\forall x\in (-\infty,+\infty)\)

Khai triển:

\(y'=4x^3+x^2(3m^3+9m)+x(6m^4+6m^2)+m^3+3m^5\)

\(\Leftrightarrow y'=(x+m)^2(4x+3m^3+m)\)

Để \(y'>0\Rightarrow 4x+3m^3+m>0\)

\(\Leftrightarrow 3m^3+m>-4x\)

Vì hàm đồng biến với mọi \(x\in (-\infty, +\infty)\) nên điều trên xảy ra khi \(3m^3+m>(-4x)_{\max}\)

Hiển nhiên \(-4x\) với \(x\in R\) thì không tồn tại max.

Do đó đề bài có vấn đề.