Question

[Hùng Đinh Tuấn]

Cho đường tròn (O; 2cm), điểm A nằm bên ngoài đường tròn sao cho OA = 4 cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

a)    Chứng minh rằng 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.  Xác định tâm I của đường tròn

b)   Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

c) Chúng minh BI song song với OC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA

=>A,B,O,C cùng thuộc (I), I là trung điểm của OA

b: Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔABC đều

c: Ta có: ΔBOA vuông tại B

=>\(\widehat{BOA}+\widehat{BAO}=90^0\)

=>\(\widehat{BOA}=90^0-30^0=60^0\)

Xét ΔBIO có IO=IB

nên ΔIBO cân tại I

Xét ΔIBO cân tại I có \(\widehat{IOB}=60^0\)

nên ΔIBO đều

=>BI=OI=R

=>\(I\in\left(O\right)\)

Ta có: BI=R

mà BI=CI

nên CI=R

=>OB=BI=CI=OC

=>OBIC là hình thoi

=>BI//OC