Question

[Nguyễn Lê Phương Trà]

1,CMR: ( 10ⁿ + 1 )( 10ⁿ + 2 ) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

2, Tìm n thuộc N^* để tổng 1!+ 2!+ 3!+...+ n! là 1 số chính phương

3, Cho a; b; c; d; n thuộc N^* biết ab= cd. CMR: aⁿ+ bⁿ+ cⁿ+ dⁿ là hợp số 

Answer 1

[Girl]

1) Ta có: \(10\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow10^n\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow10^n-1⋮3\)

Ta có: \(\left(10^n+1\right)\left(10^n+2\right)=\left(10^n+1\right)\left(10^n-1+3\right)\)

Do \(\hept{\begin{cases}10^n-1⋮3\\3⋮3\end{cases}}\Rightarrow\left(10^n+1\right)\left(10^n+2\right)⋮3\)

2) Ta có: Xét: \(1!+2!+3!+4!+5!+...+n!\)

Xét: \(n\ge5\) thì: \(1!+2!+3!+4!+5!+...+n!=33+5!+...+n!\)

Ta có: \(5!=1.2.3.4.5=\left(2.5\right).1.3.4\) có tận cùng bằng 0

Tương tự,ta suy ra được với n>=5 thì n! có tận cùng bằng 5 (do có chứa 2 thừa số 2 và 5)

\(\Rightarrow33+5!+...+n!\) tận cùng bằng 3 (loại vì scp ko có tận cùng bằng 3)

Như vậy, \(n< 5\)

Với \(n=1;1!+2!+3!+...+n!=1\left(TM\right)\)

Với \(n=2;1!+2!=5\left(KTM\right)\)

Với \(n=3;1!+2!+3!=9\left(TM\right)\)

Với \(n=4;1!+2!+3!+4!=33\left(KTM\right)\)

Vậy n bằng 1 hoặc 3

3) Ta có: \(a;b;c;d\in N\Rightarrow a+b+c+d>2\)

Giả sử \(a+b+c+d\) là số nguyên tố. Ta có: \(a+b+c+d=p\)(p nguyên tố) 

\(\Rightarrow a=p-b-c-d\Leftrightarrow ab=pb-b^2-bc-bd\)

\(\Leftrightarrow ab+b^2+bc+bd=pb\)

\(\Leftrightarrow cd+b^2+bc+bd=pb\Rightarrow\left(b+c\right)\left(b+d\right)=pb⋮p\)

Do p nguyên tố \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b+c⋮p\\b+d⋮p\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b+c>p\\b+d>p\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b+c>a+b+c+d\\b+d>a+b+c+d\end{cases}}\left(vo-ly\right)\)

Vậy a+b+c+d là hợp số 

Ta xét hiệu: \(a^n+b^n+c^n+d^n-a-b-c-d⋮2\)(Fermat nhỏ)

\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n⋮2;a^n+b^n+c^n+d^n>2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\) là hợp số (đpcm) 

Answer 2

[Nguyễn Lê Phương Trà]

Girl

Thank you =))