Bốn số thự không âm a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=1, giá trị lớn nhất của biểu thức a(b2+c2+d2) là \(\frac{m}{n}\), trong đó \(\frac{m}{n}\)là phân số tối giản. Tính giá trị của m+n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 7 2021
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)
\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)
Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)
a) \(P=1957\)
b) \(S=19.\)
CM
5 tháng 3 2018
Chọn C
Gọi A (d; e; f) thì A thuộc mặt cầu (S1): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z- 3)2 = 1 có tâm I1 = (1; 2; 3), bán kính R1 = 1
B (a; b; c) thì B thuộc mặt cầu (S2): (x - 3)2 + (y - 2)2 + z2 = 9 có tâm I2 = (-3; 2; 0), bán kính R2 = 3
Ta có I1I2 = 5 > R1 + R2 => (S1) và (S2) không cắt nhau và ở ngoài nhau.
Dễ thấy F = AB, AB max khi A ≡ A1; B ≡ B1
=> Giá trị lớn nhất bằng I1I2 + R1 + R2 = 9.
AB min khi A ≡ A2; B ≡ B2
=> Giá trị nhỏ nhất bằng I1I2 - R1 - R2 = 1.
Vậy M - m =8
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2021
Lời giải:
Do $b\leq c; a^2\geq 0$ nên $a^2(b-c)\leq 0$
$\Rightarrow Q\leq b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leq 4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4}{27}c^3\)
\(\Rightarrow Q\leq c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54}{23})^2.\frac{23}{54}c.\frac{23}{54}c(1-\frac{23}{27}c)\leq (\frac{54}{23})^2\left(\frac{\frac{23}{54}c+\frac{23}{54}c+1-\frac{23}{27}c}{3}\right)^3=\frac{108}{529}\)
Vậy $Q_{max}=\frac{108}{529}$
Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(0,\frac{12}{23}, \frac{18}{23})$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2021
Lời giải:
Do $b\leq c; a^2\geq 0$ nên $a^2(b-c)\leq 0$
$\Rightarrow Q\leq b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leq 4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4}{27}c^3\)
\(\Rightarrow Q\leq c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54}{23})^2.\frac{23}{54}c.\frac{23}{54}c(1-\frac{23}{27}c)\leq (\frac{54}{23})^2\left(\frac{\frac{23}{54}c+\frac{23}{54}c+1-\frac{23}{27}c}{3}\right)^3=\frac{108}{529}\)
Vậy $Q_{max}=\frac{108}{529}$
Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(0,\frac{12}{23}, \frac{18}{23})$
23 tháng 10 2016
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 12 2021
Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1\)
\(T_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
CM
15 tháng 9 2019
Vì: a + 1 1 + b 2 = a + 1 − b 2 ( a + 1 ) 1 + b 2 ; 1 + b 2 ≥ 2 b n ê n a + 1 1 + b 2 ≥ a + 1 − b 2 ( a + 1 ) 2 b = a + 1 − a b + b 2
Tương tự: b + 1 1 + c 2 ≥ b + 1 − b c + c 2 ; c + 1 1 + a 2 ≥ c + 1 − c a + a 2 ⇒ M ≥ a + b + c + 3 − ( a + b + c ) + ( a b + b c + c a ) 2 = 3 + 3 − ( a b + b c + c a ) 2
Chứng minh được: 3 ( a b + b c + c a ) ≤ ( a + b + c ) 2 = 9 a c ⇒ 3 − ( a b + b c + c a ) 2 ≥ 0 ⇒ M ≥ 3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2021
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
