K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 5 2018

\(\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2\sqrt{xy}-z}{z+2\sqrt{xy}}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{x+y+z}\right)\)

Tương tự \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)\);\(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{y}{x+y+z}\right)\)

Cộng vế theo vế ta được \(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\le\frac{1}{2}\left(3-1\right)=1\)

21 tháng 5 2018

bạn cho mình hỏi x,y,z là j vậy bạn

22 tháng 4 2020

\(VT=\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}}\right)\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)

Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=\frac{16}{9}\)

NV
17 tháng 7 2020

Để dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(VT=\frac{xy}{z^2+2xy}+\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}\)

\(2VT=\frac{2xy}{z^2+2xy}+\frac{2yz}{x^2+2yz}+\frac{2zx}{y^2+2xz}=1-\frac{z^2}{z^2+2xy}+1-\frac{x^2}{x^2+2yz}+1-\frac{y^2}{y^2+2xz}\)

\(2VT=3-\left(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)

\(2VT\le3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=2\)

\(\Rightarrow VT\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)

30 tháng 4 2020

Áp dụng AM-GM:

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)

\(=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1/3

1,

\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)

25 tháng 8 2020

Dễ dàng dự đoán được dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Nhận thấy các đại lượng trong căn và mẫu đồng chưa bậc nên suy nghĩ đầu tiên là đồng bậc. Để ý đến giả thiết a+b+c=1 ta thấy \(a^2+abc=a^2\left(a+b+c\right)+abc=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(c+ab=a\left(a+b+c\right)+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(b^2+abc=b\left(b+a\right)\left(b+c\right);c^2+abc=c\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)

\(b+ac=\left(a+b\right)\left(b+c\right);a+bc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

\(\frac{\sqrt{a\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\sqrt{b\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{\sqrt{c\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)

hay \(\frac{a\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\sqrt{ab\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\sqrt{ab\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}{\left(c+b\right)\left(b+a\right)}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)

Quan sát bất đẳng thức trên ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy, để ý là

\(bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)=c\left(a+b\right)\cdot b\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\cdot c\left(a+c\right)\)

Trong 2 cách viết trên ta chọn cách viết thứ nhất vì khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\)thì không tạo ra các đại lượng có chứa các bình phương. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

\(\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)}{2}=\frac{ab+2bc+ca}{2}\)

Áp dụng tương tự ta được

  \(\frac{a\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\sqrt{ac\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\sqrt{ab\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)\(\le\frac{a\left(ab+2bc+ca\right)}{2\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\left(ab+bc+2ac\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\left(2ab+bc+ca\right)}{2\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{a\left(ab+2bc+ca\right)}{2\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\left(ab+bc+2ac\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\left(2ab+bc+ca\right)}{2\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\le1\)

hay \(a\left(ab+2bc+ca\right)\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)\left(ab+bc+2ca\right)+c\left(c+b\right)\left(2ab+bc+ca\right)\)\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Vế trái của bất đẳng thức là bậc bốn còn vế phải là bậc ba nên ta có thể đồng bậc là

\(a\left(ab+2bc+ca\right)+b\left(b+c\right)\left(ab+bc+2ac\right)+c\left(c+b\right)\left(2ab+bc+ca\right)\)

\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)\)

Triển khai và thu gọn ta được \(a^3\left(b+c\right)+b^3\left(c+a\right)+c^3\left(a+b\right)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+5\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)

\(\le a^3\left(b+c\right)+b^3\left(a+c\right)+c^3\left(a+b\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+4\left(a^2bc+ba^2c+abc^2\right)\)

hay \(abc\left(a+b+c\right)\le a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\), đây là một đánh giá đúng

Dấu đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

24 tháng 8 2020

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge6\)

Theo giả thiết, ta có a + b + c = 3 nên\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}=\sqrt{\frac{2\left(a+a+b+c\right)}{a+bc}}=\sqrt{2\left(\frac{a+b}{a+bc}+\frac{a+c}{a+bc}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}\)(Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\))

Hoàn toàn tương tự, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}\ge\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}\)\(\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+b}{b+ca}}\ge\frac{4\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}}\ge\frac{2\sqrt{2}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc+b+ca}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}\)(*)

Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}\)(**) ; \(\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+bc}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)(***)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (**) và (***) suy ra \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)\(\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)

Do đó ta có: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\ge6\)hay \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(a+b+c+3\right)}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

15 tháng 1 2020

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(a^2+2c^2\right)\left(1+2\right)\ge\left(a+2c^2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2c^2}\ge\frac{a+2c}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\frac{a+2c}{\sqrt{3ac}}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3abc}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\frac{ac+2ab}{\sqrt{3abc}}\\\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{bc+2ac}{\sqrt{abc}}\end{cases}}\)

Ta được BĐT:

\(VT\ge\frac{1}{3}.\frac{ab+2abc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{3}.\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{abc}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=3\)

=> đpcm

P/S: Làm tắt vs đoạn này k^o chắc mấy :V

15 tháng 1 2020

Repair đề \(\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{2a^2+b^2}}{ab}\ge3\sqrt{3}\).Because dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Không use condition của đề bài :))

Ta co:

\(VT=\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}}+\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{b}{c}}}+\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{b}{c}}.\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}}}}=3\sqrt{3}\)

equelity iff \(a=b=c=3\)

NV
20 tháng 6 2020

Đặt vế trái là P và \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=4\)

Ta cần chứng minh: \(P=\frac{1}{xy+2yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+2zx}+\frac{1}{2xy+yz+zx}\le\frac{1}{xyz}\)

\(P=\frac{1}{xy+yz+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx+zx}+\frac{1}{xy+xy+yz+zx}\)

\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)=\frac{1}{4}.\frac{4}{xyz}=\frac{1}{xyz}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{16}{9}\)