Cho \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến AM, BN, CP.
C/minh: \(\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BN+CP< AB+BC+CA\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
13 tháng 7 2018
Gọi O là trọng tâm của tam giác. Ta có:
OA + OB > AB
OA + OC > AC
OB + OC > BC
=> 2(OA + OB + OC) > AB + BC + CA
\(\Rightarrow2\cdot\left(\dfrac{2}{3}AM+\dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP\right)>AB+BC+CA\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}\left(AM+BN+CP\right)>AB+BC+CA\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP>\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)\)
Ta có:
Nếu góc AMB tù hoặc vuông thì AB > AM
Nếu góc AMC tù hoặc vuông thì AC > AM
Tương tự: BC > BN hoặc BA > BN
CA > CP hoặc CB > CP
Vậy các cạnh của tam giác ABC luôn lớn hơn 2 trong 3 trung tuyến
=> AB + BC + CA > AM + BN + CP
Vậy...........................................
NH
0
S
5 tháng 3 2019
a)Xét tam giác APM có: AM < AP + PM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại)
Xét tam giác ANM có: AM < AN + NM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại)
=> 2AM < AP + PM + AN +NM (cộng vế với vế) (1)
Lại có: AP = MN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (2)
PM = AN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (3)
Từ (1),(2),(3) => 2AM < 2AP + 2AN
<=> 2AM < AB + AC (Do CP và BN là đường trung tuyến của tam giác ABC)
<=> AM < 1/2 (AB+AC) (chia cả hai vế cho 2)
b)
* CM tương tự:
-BN < 1/2 (AB+AC)
-CP < 1/2 (AC+CB)
AM < 1/2 (AB+AC)
=> AM + BN + CP < 1/2 (AB+AC+AB+BC+AC+BC)
<=>AM + BN + CP < AB+AC+BC (3)
* Có: BG+GC > BC (Xét tam giác BGC)
- GC+AG > AC (Xét tam giác CGA)
- AG+BG > AB (Xét tam giác AGB)
=> 2GB+2GC+2GA > AB+AC+BC
<=>2.2/3BN + 2.2/3PC + 2.2/3AM > AB+AC+BC (t/c đường trung tuyến trong tam giác ABC)
<=>4/3 (BN + PC + AM) > AB+AC+BC
<=>BN+PC+AM > 3/4( AB+AC+BC ) (nhân cả hai vế với 3/4) (4)
Từ (3),(4) => 3/4(AB+AC+BC) < AM+BN+CP < AB+AC+BC
♥Tomato♥
CY
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2018
Lời giải:
Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)
Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)
Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)
Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)
Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:
\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)
Ta có đpcm
NL
24 tháng 10 2017
B1
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta được:
PC^2=AP^2+AC^2
BN^2=AB^2+AN^2
BC^2=AB^2+AC^2
Theo tính chất tam giác vuông ta được:
AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC=>AM^2=\(\dfrac{1}{4}\)BC^2
Từ trên =>AM^2+BN^2+CP^2=
\(\dfrac{1}{4}\)BC^2+AB^2+\(\dfrac{\left(AC\right)^2}{4}\)+AC^2+\(\dfrac{\left(AB\right)^2}{4}\)=\(\dfrac{2\left(BC\right)^2}{4}\)+BC^2=\(\dfrac{3}{2}\)BC^2(đpcm)
\(\dfrac{1}{4}\)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Dễ dàng chứng minh t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) => AB = CD
Xét t/g ACD có: AD < AC + CD
=> 2AM < AC + AB => AM < \(\frac{AB+AC}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(BN< \frac{AB+BC}{2};CF< \frac{CA+CB}{2}\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP< \frac{AB+AC+AB+BC+CA+CB}{2}=\frac{2\left(AB+AC+BC\right)}{2}=AB+AC+BC\) (1)
Gọi trọng tâm là G
Xét t/g GBC có: GB + GC > BC => \(\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP>BC\) => \(BN+CP>\frac{3}{2}BC\)
Tương tự ta có: \(AM+CP>\frac{3}{2}AC;AM+BN>\frac{3}{2}AB\)
=> BN + CP + AM + CP + AM + BN > \(\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC+\frac{3}{2}AB\)
=> 2(AM + BN + CP) > \(\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)\)
=> AM + BN + CP > \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)< AM+BN+CP< AB+BC+AC\) (đpcm)