K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Đặt \(\hept{\begin{cases}-a+2b+2c=x\\2a-b+2c=y\\2a+2b-c=z\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2y+2z-x}{9}\\b=\frac{2z+2x-y}{9}\\c=\frac{2x+2y-z}{9}\end{cases}}\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên x,y,z>0

Khi đó : \(VT=\frac{2y+2z-x}{9x}+\frac{2z+2x-y}{9y}+\frac{2x+2y-z}{9z}\)

\(=\frac{2}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{1}{3}\)

\(\ge\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2-\frac{1}{3}\)(BĐT Cauchy cho 2 số không âm)

\(=\frac{4}{9}.3-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1\)

9 tháng 7 2021

\(\frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2a+2c-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\)

\(\frac{a^2}{2ab+2ac-a^2}+\frac{b^2}{2ab+2bc-b^2}+\frac{c^2}{2ac+2bc-c^2}\)

đặt pt là P

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2ac-a^2+2ab+2bc-b^2+2ac+2bc-c^2}\)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4ab+4ac+4bc-a^2-b^2-c^2}\)

\(a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)(BĐT tương đương)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4ab+4ac+4bc-a^2-b^2-c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2ac+2bc}\)

\(\left(a+b+c\right)^2\ge2ab+2ac+2bc\)(BĐT tương đương)

\(P\ge1\)

mình ko chắc đã đúng

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=2b+2c-a\\y=2c+2a-b\\z=2a+2b-c\end{cases}}\)

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(x,y,z>0\)

Khi đó :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2y+2z-x}{9}\\b=\frac{2z+2x-y}{9}\\c=\frac{2x+2y-z}{9}\end{cases}}\)

Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z : 

\(\frac{2y+2z-x}{9x}+\frac{2z+2x-y}{9y}+\frac{2x+2y-z}{9z}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau : 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)

Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))

Áp dụng , ta được :

\(\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{12}{9}-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{9}\ge1\)(đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh 

1 tháng 2 2017

a on à :D 

16 tháng 6 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a}{2b+2c-a}=\dfrac{3a^2}{3a\left(2b+2c-a\right)}\ge\dfrac{3a^2}{\dfrac{\left(3a+2b+2c-a\right)^2}{4}}\)

\(\dfrac{12a^2}{\left(3a+2b+2c-a\right)^2}\)\(=\dfrac{12a^2}{\left(2a+2b+2c\right)^2}\)

Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{b}{2a+2c-b}\ge\dfrac{12b^2}{\left(2a+2b+2c\right)^2};\dfrac{c}{2a+2b-c}\ge\dfrac{12c^2}{\left(2a+2b+2c\right)^2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\dfrac{12\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

16 tháng 6 2017

\(\dfrac{a}{2b+2c-a}+\dfrac{b}{2c+2a-b}+\dfrac{c}{2a+2b-c}\)

\(=\dfrac{a^2}{2ab+2ac-a^2}+\dfrac{b^2}{2bc+2ba-b^2}+\dfrac{c^2}{2ca+2cb-c^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(ab+bc+ca\right)-a^2-b^2-c^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2-a^2-b^2-c^2}=1\)

Dấu = xảy ra khi a = b = c

6 tháng 9 2020

Bài này không đúng nhé. Với a = b = c = 1 thì bất đẳng thức sai. Tuy nhiên bài này đúng theo chiều ngược lại.

7 tháng 9 2020

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau đây \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Đặt \(\left\{2a+2b-c;2b+2c-a;2c+2a-b\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)

Vì a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác nên x,y,z dương 

Ta có : \(x^2+y^2+z^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(x+y=c+a+4b\)\(y+z=a+b+4c\)\(z+x=b+c+4a\)

Bất đẳng thức cần chứng minh quy về : \(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^3.x\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{x^4}{4}}=2\frac{x^2}{2}=x^2\)

\(\frac{y^3}{x+z}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^3.y\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{y^4}{4}}=2\frac{y^2}{2}=y^2\)

\(\frac{z^3}{x+y}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^3.z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)4}}=2\sqrt{\frac{z^4}{4}}=2\frac{z^2}{2}=z^2\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx+xy+yz+zx}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx}{2}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)khi đó ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{y+x}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z< =>a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

18 tháng 6 2018

\(P=\frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}=\frac{a^2}{2ab+2ac-a^2}+\frac{b^2}{2bc+2ab-b^2}+\frac{c^2}{2ac+2bc-c^2}\)

vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác có:

\(\hept{\begin{cases}b+c>a\Rightarrow2b+2c>a\Rightarrow2ab+2ac>a^2\Rightarrow2ab+2ac-a^2>0\\c+a>b\Rightarrow2c+2a>b\Rightarrow2bc+2ab>b^2\Rightarrow2bc+2ab-b^2>0\\a+b>c\Rightarrow2a+2b>c\Rightarrow2ac+2bc>c^2\Rightarrow2ac+2bc-c^2>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{2ab+2ac-a^2}+\frac{b^2}{2bc+2ab-b^2}+\frac{c^2}{2ac+2bc-c^2}>0\)áp dụng bđt cauchy schawazt dạng enge ta có:

\(\frac{a^2}{2ab+2ac-a^2}+\frac{b^2}{2bc+2ab-b^2}+\frac{c^2}{2ac+2bc-c^2}>=\)

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2ac-a^2+2bc+2ab-b^2+2ac+2bc-c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4ab+4ac+4bc-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\left(1\right)\)

vì \(a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc\Rightarrow4ab+4ac+4bc-\left(a^2+b^2+c^2\right)< =\)

\(4ab+4ac+4bc-\left(ab+ac+bc\right)\)mà \(\left(a+b+c\right)^2>0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4ab+4ac+4bc-\left(a^2+b^2+c^2\right)}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4ab+4ac+4bc-\left(ab+ac+bc\right)}\)(2)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4ab+4ac+4bc-ab-ac-bc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3ab+3ac+3bc}=\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}{3ab+3ac+3bc}\)

\(>=\frac{ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc}{3ab+3ac+3bc}=\frac{3ab+3ac+3bc}{3ab+3ac+3bc}=1\)(3)

từ (1)(2)(3)\(\Rightarrow\frac{a^2}{2ab+2ac-a^2}+\frac{b^2}{2bc+2ab-b^2}+\frac{c^2}{2ac+2bc-c^2}>=1\)

\(\Rightarrow P=\frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}>=1\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

vậy min P là 1 khi a=b=c

9 tháng 5 2019

Cho \(a=b=c\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\right)\ge1+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow2\ge2\) ( Đúng)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)

5 tháng 7 2021

Ta có:

A = \(\frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{3b+2a}=\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ab}+\frac{c^2}{3bc+2ac}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+3ac+2bc+3ab+3bc+2ac}\)(bđt svacxo \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\))

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{5\left(a+b+c\right)^2}{3}}\) (bđt \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(*)

CM bđt * <=> \(3xy+3yz+3xz\le x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz\)

<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

<=> A \(\ge\frac{3}{5}\) --> ĐPCM

21 tháng 3 2020

Cho a = b = c = 1 thử xem:P