cho \(\begin{cases}a+b+c>0\\ab+bc+ca>0\\abc>0\end{cases}\)
chứng minh rằng \(a,b,c>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LQ
4
10 tháng 4 2017
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\ab+bc+ca+3=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\\-\left(ab+bc+ca\right)=3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=6\)
\(\Rightarrow a^2\le6\)
\(\Leftrightarrow-2\le a\le2\)
\(\Rightarrow\) a \(\in\){ -2; - 1; 0; 1; 2}
Thế a = - 2 vào hệ ban đầu ta được
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2\\-2b+bc-2c+3=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\c=1\end{cases}}\)
Tương tự cho các trường hợp còn lại
3 tháng 9 2018
Đặt \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\),xyz=1
Cần CM: \(1+\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{6}{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}}\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{3}{xy+yz+zx}\ge\frac{6}{x+y+z}\)
Thật vậy \(1+\frac{3}{xy+yz+zx}\ge1+\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{9}{x+y+z}}=\frac{6}{x+y+z}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
NH
2 tháng 8 2019
Ta có: a + 2b - 3c = 0
=> a + 2b - 2c - c = 0
=> a - c = 2c - 2b
=> a - c = 2(c - b) (1)
Lại có: bc + 2ca - 3ab = 0
=> bc + 2ca - 2ab - ab = 0
=> b(c - a) + 2a(c - b) = 0 (2)
Thay (1) vào (2)
=> b(c - a) + a(a - c) = 0
=> b(c - a) - a(c - a) = 0
=> (c - a)(b - a) = 0
=> \(\orbr{\begin{cases}c-a=0\\b-a=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}a=c\\a=b\end{cases}}\)
=> a = b = c
Giả sử ngược lại, trong 3 số a , b , c có ít nhất 1 số \(\le0\). Vì a, b, c vai trò như nhau, nên ta có thể xem \(a\le0\)
Khi đó : \(abc>0\Rightarrow\)\(a<0,bc<0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)=ab+ac>-bc>0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow b+c<0\) ( Vì chứng minh trên có a < 0 )
\(\Rightarrow a+b+c<0\Rightarrow\) vô lí
Vậy \(a,b,c>0\)
CHẮC CHẮN A,B,C>0