Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt
và OM = R, .
Gọi là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).
a) Tính thể tích của theo α và R.
b) Tìm α sao cho thể tích là lớn nhất.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: OP = OM.cosα = R. cosα
Phương trình đường thẳng OM đi qua O nên có dạng: y = k.x
OM tạo với trục hoành Ox 1 góc
⇒ Hệ số góc k = tanα
⇒ OM: y = x.tanα
Vậy khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x.tanα; y = 0; x = 0; x = R.cosα quay quanh trục Ox
Đáp án A.
Tam giác OPM vuông tại P suy ra O P = R . cos α ; M P = R . sin α .
Thể tích khối nón được tính bằng công thức
V = 1 3 . O P . πMP 2 = 1 3 . R . cosα . π . R 2 . sin 2 α = πR 3 3 . cosα . sin 2 α = πR 3 3 . cosα 1 - cos 2 α
V đạt giá trị lớn nhất khi - cos 3 α + cos α đạt giá trị lớn nhất.
Sử dụng TABLE ta có
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 0 , 384 = 2 3 9 . Suy ra V = 2 3 πR 3 27 .
a) Hoành độ điểm P là :
xp = OP = OM. cos α = R.cosα
Phương trình đường thẳng OM là y = tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:
b) Đặt t = cosα => t ∈
. (vì α ∈
), α = arccos t.
Ta có :
V' = 0 ⇔![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?t%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D)
hoặc
(loại).
Ta có bảng biến thiên:
Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔
, khi đó :
.