Giải hệ phương trình :
\(\begin{cases}\log_2\sqrt{x+3}=1+\log_3y\\\log_2\sqrt{y+3}=1+\log_3x\end{cases}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DN
21 tháng 4 2021
trong cac phan so sau :2/3 ;2/8 ;17/300 ;1/30.phan so thap phan la phan so
30 tháng 3 2016
Điều kiện \(x>0.y>0,y\ne1\)
Với điều kiện này thì phương trình thứ nhất tương đương với \(x=y^2\)
Thế vào phương trình thứ 2 ta được :
\(\log_2y=\log_yy^2\Leftrightarrow y=4\)
Suy ra x=16.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (16;4)
24 tháng 3 2016
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
24 tháng 3 2016
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
13 tháng 11 2023
a: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{3}+1\right)x+\left(\sqrt{3}-1\right)y=\sqrt{3}\\2\sqrt{3}x-2y=3\sqrt{3}+1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{3}+1\right)^2\cdot x+\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)y=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)\\2\sqrt{3}x-2y=3\sqrt{3}+1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(4+2\sqrt{3}\right)+2y=3+\sqrt{3}\\2\sqrt{3}\cdot x-2y=3\sqrt{3}+1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(4+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\right)=3+\sqrt{3}+3\sqrt{3}+1\\2\sqrt{3}\cdot x-2y=3\sqrt{3}+1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\2y=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-1=-\sqrt{3}-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{-\sqrt{3}-1}{2}\end{matrix}\right.\)
b: \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{3}+y\sqrt{2}=1\\x\sqrt{2}+y\sqrt{3}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{6}+2y=\sqrt{2}\\x\sqrt{6}+3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-3y=\sqrt{2}-3\\x\sqrt{3}+y\sqrt{2}=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-y=\sqrt{2}-3\\x\sqrt{3}=1-y\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3-\sqrt{2}\\x\sqrt{3}=1-\sqrt{2}\left(3-\sqrt{2}\right)\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3-\sqrt{2}\\x\sqrt{3}=1-3\sqrt{2}+2=3-3\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3-\sqrt{2}\\x=\sqrt{3}-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)
c: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-2\right)=\left(x+1\right)\left(y-3\right)\\\left(x-5\right)\left(y+4\right)=\left(x-4\right)\left(y+1\right)\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2y-y+2=xy-3x+y-3\\xy+4x-5y-20=xy+x-4y-4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-y+2=-3x+y-3\\4x-5y-20=x-4y-4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-y+3x-y=-3-2=-5\\4x-5y-x+4y=-4+20\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=-5\\3x-y=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-6y=-15\\3x-y=16\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-5y=-15-16=-31\\x-2y=-5\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{31}{5}\\x=-5+2y=-5+\dfrac{62}{5}=\dfrac{37}{5}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2021
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>3\\y>0\end{matrix}\right.\)
Biến đổi pt dưới:
\(\Leftrightarrow x^3-3x-y^3-6y^2-9y-2+ln\left(x-1\right)-ln\left(y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+3\left(x-1\right)^2+ln\left(x-1\right)=\left(y+1\right)^3+3\left(y+1\right)^2+ln\left(y+1\right)\)
Xét hàm: \(f\left(t\right)=t^3+3t^2+lnt\) với \(t>0\)
\(f'\left(t\right)=3t^2+6t+\dfrac{1}{t}>0\) ;\(\forall t>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow x-1=y+1\Rightarrow x=y+2\)
Thế lên pt trên:
\(y\left(log_2\left(y-1\right)+log_3y\right)=y+3\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(y-1\right)+log_3y=1+\dfrac{3}{y}\)
Nhận thấy \(y=3\) là 1 nghiệm
Hàm \(f\left(y\right)=log_2\left(y-1\right)+log_3y\) có \(f'\left(y\right)=\dfrac{1}{\left(y-1\right)ln2}+\dfrac{1}{y.ln3}>0\Rightarrow f\left(y\right)\) đồng biến
Hàm \(g\left(y\right)=1+\dfrac{3}{y}\) có \(g'\left(y\right)=-\dfrac{3}{y^2}< 0\Rightarrow g\left(y\right)\) nghịch biến
\(\Rightarrow f\left(y\right)=g\left(y\right)\) có tối đa 1 nghiệm
\(\Rightarrow y=3\) là nghiệm duy nhất
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\) là cặp nghiệm duy nhất của hệ
21 tháng 2 2019
Câu 1: ĐK: x khác -1/2, y khác -2
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{2x+1}{y+2}}=t\) Từ phương trình thứ nhất ta có:
\(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow t=1\)
=> \(\sqrt[3]{\frac{2x+1}{y+2}}=1\Leftrightarrow2x+1=y+2\Leftrightarrow2x-y=1\)
Vậy nên ta có hệ phương trình cơ bản: \(\hept{\begin{cases}2x-y=1\\4x+3y=7\end{cases}}\)Em làm tiếp nhé>
21 tháng 2 2019
\(1,ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}y\ne-2\\x\ne-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{2x+1}{y+2}}=a\left(a\ne0\right)\)
\(Pt\left(1\right)\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+1=2a\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{2x+1}{y+2}}=1\)
TT
2
23 tháng 2 2018
Đặt:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=2+t\\\sqrt{y+1}=2-t\end{cases}\Rightarrow t=0}\)
Việc giải raNhận xét: Phép đặt ẩn phụ làm bài toán trở nên rất đơn giản.
13 tháng 3 2018
\(ĐK:\hept{\begin{cases}x\ge-1\\y\ge-1\\xy\ge0\end{cases}}\)
Hệ tương đương \(\hept{\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3\\2\sqrt{xy+x+y+1}=14-\left(x+y\right)\end{cases}}\)
Đặt S=x+y;P=\(\sqrt{xy}\)(\(P\ge0\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}S-P=3\left(3\right)\\2\sqrt{P^2+S+1}=14-S\left(4\right)\end{cases}}\)
Thay (3) \(S=3+P\)vào (4) ta được:
\(2\sqrt{P^2+P+4}=11-P\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}P\le11\\3P^2+26P-105=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}P\le11\\\orbr{\begin{cases}P=3\left(n\right)\\P=\frac{-35}{3}\left(L\right)\end{cases}}\end{cases}}\)đến đây tự xét
\(\Rightarrow P=3\Rightarrow S=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=6\\xy=9\end{cases}}\Rightarrow x=y=3\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}P\le11\\\orbr{\begin{cases}P=3\left(n\right)\\P=\frac{-35}{3}\left(L\right)\end{cases}}\end{cases}}\)
Điều kiện x, y dương. Hệ phương trình tương đương với hệ :
\(\begin{cases}\log_2\left(x+3\right)=2\left(1+\log_3y\right)\\2\left(1+\log_3x\right)=\log_2\left(y+3\right)\end{cases}\) (*)
Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ (*) ta có :
\(\log_2\left(x+3\right)+2\log_3x=\log_2\left(y+3\right)+2\log_3y\)
Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=\log_2\left(t+3\right)+2\log_3t\) trên miền \(\left(0;+\infty\right)\).
Dễ thấy hàm số luôn đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)., mà \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\) nên \(x=y\).
Thay vào một trong hai phương trình của hệ (*), ta được
\(\log_2\left(x+3\right)=2\left(1+\log_3x\right)\)
hay
\(x+3=2^{2\left(1+\log_3x\right)}=4.2^{\log_3x^2}=4.2^{\log_32.\log_2x^2}=4\left(2^{\log_2x^2}\right)^{\log_32}\)
\(\Leftrightarrow x+3=4.x\log^{\log_34}\)
\(\Leftrightarrow x^{1-\log_34}+3.x^{-\log_34}=4\) (**)
Xét
\(g\left(x\right)=x^{1-\log_34}+3.x^{-\log_34}\) trên khoảng( \(0:+\infty\)), ta có :
\(g'\left(x\right)=\left(1-\log_34\right)x^{-\log_34}-3.\log_34x^{-1-\log_34}\)
Thấy ngay \(g'\left(x\right)<0\) với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\), do đó \(g\left(x\right)\)nghịch biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Mặt khác \(g\left(1\right)=4\) vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (**)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (1;1)