Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau :
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=-3+2t\\y=-2+3t\\z=6+4t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=5+t'\\y=-1-4t'\\z=20+t'\end{matrix}\right.\)
b) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t'\\y=-1+2t'\\z=2-2t'\end{matrix}\right.\)
a) Đường thẳng d đi qua M1( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương
(2 ; 3 ; 4).
Đường thẳng d' đi qua M2( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương
(1 ; -4 ; 1).
Ta có
= (19 ; 2 ; -11) ;
= (8 ; 1 ; 14)
và
= (19.8 + 2 - 11.4) = 0
nên d và d' cắt nhau.
Nhận xét : Ta nhận thấy
,
không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-3+2t%3D5+t%27%20%26%20%281%29%5C%5C%20-2+3t%3D-1-4t%27%20%26%20%282%29%20%5C%5C%206+4t%3D20+t%27%26%20%283%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.
b) Ta có :
(1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và
(2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy
và
cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M
d' nên d và d' song song.