Question

[Vũ Nguyễn Linh Chi]

Cho hàm số y=f(x). Hàm số f'(x) có đồ thị như hĩnh vẽ bên:. Biết f(0) = -4, tìm số điể cực đại của hàm số y= 2.f (f(x)) - [ f(x)]²

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(y'=2f'\left(x\right).f'\left(f\left(x\right)\right)-2f'\left(x\right).f\left(x\right)\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f'\left(x\right)=0\\f'\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta có \(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=x_1\) với \(-4< x_1< 0\)

Xét phương trình \(f'\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)\), đặt \(f\left(x\right)=t\Rightarrow f'\left(t\right)=t\)

Vẽ đường thẳng \(y=t\) (màu đỏ) lên cùng đồ thị \(y=f'\left(t\right)\) như hình vẽ:

Ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm: \(t=\left\{-4;1;4\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=-4\\f\left(x\right)=1\\f\left(x\right)=4\end{matrix}\right.\) (1)

Mặt khác từ đồ thị \(f'\left(x\right)\) và \(f\left(0\right)=-4\) ta được BBT của \(f\left(x\right)\) có dạng:

Từ đó ta thấy các đường thẳng \(y=k\ge-4\) luôn cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 2 điểm phân biệt

\(\Rightarrow\) Hệ (1) có 6 nghiệm phân biệt (trong đó 3 nghiệm nhỏ hơn \(x_1\) và 3 nghiệm lớn hơn \(x_1\))

Từ đó ta có dấu của y' như sau:

Có 3 lần y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm có 3 cực đại

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Chọn A