C.m: \(\left(n+1\right)^3=n^3+1+n\left(n+1\right)\)
Vận dụng tính :
\(S=1.2+2.3+3.4+...+99.100\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
- Với \(n=1\Rightarrow1.2=\frac{1.2.3}{3}\) (đúng)
- Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(1.2+...+k\left(k+1\right)=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1.2+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Thật vậy:
\(1.2+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\frac{k}{3}+1\right]=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\) (đpcm)
9 tháng 3 2016
\(F=\frac{1+\frac{1.2}{2}+\frac{3.4}{2}+...+\frac{100.101}{2}}{1.2+2.3+...+99.100}\)
\(=\frac{1+1.2+3.4+...+100.101}{\left(1.2+2.3+...+99.100\right).2}\)
Tự làm tiếp nhá !
10 tháng 10 2021
\(1,\)
\(a,\) Sửa: \(A=10^n+72n-1⋮81\)
Với \(n=1\Leftrightarrow A=10+72-1=81⋮81\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow A=10^k+72k-1⋮81\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow A=10^{k+1}+72\left(k+1\right)-1\)
\(A=10^k\cdot10+72k+72-1\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-648k+81\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-81\left(8k-1\right)\)
Ta có \(10^k+72k-1⋮81;81\left(8k-1\right)⋮81\)
Theo pp quy nạp
\(\Rightarrow A⋮81\)
\(b,B=2002^n-138n-1⋮207\)
Với \(n=1\Leftrightarrow B=2002-138-1=1863⋮207\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow B=2002^k-138k-1⋮207\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow B=2002^{k+1}-138\left(k+1\right)-1\)
\(B=2002\cdot2002^k-138k-138-1\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+276138k+1863\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+207\left(1334k+1\right)\)
Vì \(2002^k-138k-1⋮207;207\left(1334k+1\right)⋮207\)
Nên theo pp quy nạp \(B⋮207,\forall n\)
10 tháng 10 2021
\(2,\)
\(a,\) Sửa đề: CMR: \(1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Đặt \(S_n=1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)\)
Với \(n=1\Leftrightarrow S_1=1\cdot2=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow S_k=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(S_{k+1}=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(\Leftrightarrow S_{k+1}=S_k+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Theo pp quy nạp ta có đpcm
\(b,\) Với \(n=0\Leftrightarrow0^3=\left[\dfrac{0\left(0+1\right)}{2}\right]^2=0\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow1^3+2^3+...+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Thật vậy, ta có
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\\ =\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\\ =\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
9 tháng 4 2018
\(A=\dfrac{3}{\left(1\cdot2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2\cdot3\right)^2}+\dfrac{7}{\left(3\cdot4\right)^2}+...+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)
\(A=\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{5}{4\cdot9}+\dfrac{7}{9\cdot16}+...+\dfrac{2n+1}{n^2\cdot\left(n^2+2n+1\right)}\)
\(A=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)
\(A=1-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)
\(A=\dfrac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\)
DD
31 tháng 7 2015
A=1.2+2.3+...+n(n+1)
3A=1.2.3+2.3.3+....+3n(n+1)
3A=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
3A=n(n+1)(n+2)
A=n(n+1)(n+2)/3 (đpcm)
VP
10
PV
17 tháng 4 2016
Ta gọi A=1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)
3A=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+n.(n+1)(n+2-n+1)
=[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)]-[0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2)
=> A=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Vậy 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
NN
27 tháng 3 2017
Ta có:
\(A=\frac{3}{\left(1.2\right)^2}+\frac{5}{\left(2.3\right)^2}+\frac{7}{\left(3.4\right)^2}+...+\frac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)
\(=\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+...+\frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{3}{1.4}+\frac{5}{4.9}+\frac{7}{9.16}+...+\frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+...+\frac{2n+1}{n^2}-\frac{2n+1}{\left(n+1\right)^2}\)
\(=1-\frac{2n+1}{\left(n+1\right)^2}\)
Vậy \(A=\frac{2n+1}{\left(n+1\right)^2}\)
LT
Lương Thị Vân Anh
CTVHS
23 tháng 4 2023
\(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
= \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
= 1 - \(\dfrac{1}{n+1}\) = \(\dfrac{n}{n+1}\)
