Question

[Hải Dương]

Cho tam giác ABC và trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua điểm G cắt cạnh AB, AC Gọi A', B', C' là hình chiếu lần lượt của A, B, C trên d Tìm mối liên hệ giữa AA', BB', CC'

Answer 1

[Đào Thị Huyền]

vẽ I thuộc AG sao cho AI=IG

I I' vuông góc vs B'C'

đường trung tuyến AM

MM' vuông góc vs B'C'

xét \(\Delta AGA'\)có AI=IG

I I' // AA' ( cùng vuông góc vs B'C' )

=>A'I' = I'G ( t/c đường trung bình của tam giác )

=>I I' là đường trung bình của tam giác AGA'

=>I I' = AA'/2 => 2I I' = AA' (1)

xét \(\Delta IGI'\)vuông tại I'

\(\Delta MGM'\)vuông tại M'

có IG = MG ( AM là đường trung tuyến mà G là trọng tâm =>GM=AG/2 mà I là trung điểm của AG )

\(\widehat{IGI'}=\widehat{MGM'}\)( 2 góc đối đỉnh)

=>\(\Delta IGI'=\Delta MGM'\)(ch-gn)

=>I I' = MM' (2 cạnh tương ứng) (2)

từ (1) và (2) => 2MM' = AA'

xét tứ giác BB'CC'

có BB' // CC' ( cùng vuông góc với B'C' )

=> BB'CC' là hình thang

có BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )

=>B'M' = M'C' ( t/c đường trung bình của Hthang )

=> MM' là đường trung bình của Hthang BB'CC'

=> MM'= \(\dfrac{BB'+CC'}{2}\)

=> 2MM' = BB' + CC'

mà 2MM' = AA' (cm trên)

=> BB' + CC' = AA'