Question

[Thái Đào]

Với mọi số tự nhiên n đặt a(n)= \(3n^2+6n+13\)

a) c/m a(i), a(k) (i,k là số tự nhiên) không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì a(i)+a(k) chia hết cho 5.

b) Tìm số tự nhiên n sao cho a là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Ta có \(a(n)=3n^2+6n+13=3(n^2+2n+1)+10\)

\(=3(n+1)^2+10\)

Khi đó:

\(a(i)=3(i+1)^2+10\)

\(a(k)=3(k+1)^2+10\)

Để \(a(i); a(k)\not\vdots 5\Rightarrow (i+1)^2; (k+1)^2\not\vdots 5\)

Mà ta biết rằng một số chính phương khi chia 5 chỉ có thể có dư là 0,1,4, nên nếu \((i+1)^2; (k+1)^2\not\vdots 5\Rightarrow \) nó chia 5 dư 1 hoặc 4

Vì \(a(i); a(k)\) có khác số dư khi chia cho 5 nên \((i+1)^2; (k+1)^2\) cũng khác số dư khi chia cho $5$

Không mất tính tổng quát, giả sử $(i+1)^2$ chia $5$ dư 1; $(k+1)^2$ chia 5 dư 4

\(\Rightarrow (i+1)^2=5m+1; (k+1)^2=5n+4\)

\(\Rightarrow a(i)+a(k)=3(5m+1)+10+3(5n+4)+10\)

\(=15m+15n+35\vdots 5\)

Do đó ta có đpcm.

b)

Đặt \(3n^2+6n+13=t^2(t\in\mathbb{N})\)

\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2+10=t^2\)

Vì số chính phương chia cho 5 có thể có dư là 0,1,4 nên ta xét các TH sau:

\((n+1)^2=5k+1\Rightarrow t^2=3(5k+1)+10=5(3k+2)+3\) chia 5 dư 3(vô lý)

\((n+1)^2=5k+4\Rightarrow t^2=3(5k+4)+10=5(3k+4)+2\) chia 5 dư 2 (vô lý)

Do đó \((n+1)^2\vdots 5\Leftrightarrow n+1\vdots 5\). Đặt \(n+1=5k\Rightarrow t^2=75k^2+10\)

\(\Leftrightarrow t^2=5(15k^2+2)\) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 (vô lý)

Do đó pt trên vô nghiệm. Vậy không tồn tại số n thỏa mãn

Khi đó, đặt