Tim a,b la cac so nguyen duong sao cho a+b^2 chia het cho a^2b-1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HD
17 tháng 12 2015
a; Đặt A= \(a^{2017}+a^{2015}+1\)
\(=a^4\left(a^{2013}-1\right)+a^2\left(a^{2013}-1\right)+a^4+a^2+1\)=\(a^4\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+a^2\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)
= \(\left(a^2+a+1\right)F\left(a\right)\) (trong đó F(a) là đa thức chứa a)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(a^2+a+1\)
do \(a^2+a+1\) > 1 (dễ cm đc)
mà A là số nguyên tố
\(\Rightarrow A=a^2+a+1\)
hay \(a^{2017}+a^{2015}+1=a^2+a+1\)
\(\Leftrightarrow a\left(a\left(a^{2015}-1\right)+\left(a^{2014}-1\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right).G\left(a\right)=0\) ( bạn đặt nhân tử chung ra)
do a dương => a>0 => a-1=0=> a=1(t/m)
Kết Luận:...
chỗ nào bạn chưa hiểu cứ nói cho mình nha :3
TG
2
NV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 8 2023
Lời giải:
Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.
Chứng minh:
Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2\vdots 3$ (dư $0$)
Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$
$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$
Vậy ta có đpcm
-----------------------------
Áp dụng vào bài:
TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$
TH1: Nếu $a\vdots 3, b\not\vdots 3$
$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow b^2+3\vdots 3$
$\Rightarrow a(b^2+3)\vdots 9$
$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)\vdots 9$
TH3: Nếu $a\not\vdots 3; b\vdots 3$
$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow a^2+2\vdots 3$
$\Rightarrow b(a^2+2)\vdots 9$
$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$
TH4: Nếu $a\not\vdots 3; b\not\vdots 3$
$\Rightarrow a^2, b^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow a^2+2\vdots 3; b^2+2\vdots 3$
$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$
Từ các TH trên ta có đpcm.
LA
21 tháng 4 2021
Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12
PT
2
9 tháng 12 2015
mình ché trên mạng
a. Ta xét a = 1
=> a + b^2 = b^2 + 1 = (b^2 - 1) + 2 chia hết cho (b - 1)
=> 2 chia hết cho (b - 1)
=> b = 2 hoặc b = 3
(a, b) = (1, 2), (1, 3) thỏa mãn
b. ta xét a = 2
=> a + b^2 = b^2 + 2 chia hết cho (4b - 1)
=> 4b^2 + 8 chia hết cho (4b - 1)
=> (4b^2 - b) + (b + 8) chia hết cho (4b - 1)
=> (b + 8) chia hết cho (4b - 1) *
Ta thấy * thỏa mãn khi b = 1 hoặc b = 3, với b > 3 ta có (4b - 1) > b + 8
nên b + 8 không chia hết cho (4b - 1)
Thử lại ta thấy (a, b) = (2, 1), (2, 3) thỏa mãn
c. Ta xét a > 2
không thể có b = 1 vì lúc đó ta có
a^2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 > 2*(2 - 1) - 2 = 0
=> a + 1 < a^2 - 1
=> a + 1 không thể chia hết cho a^2 - 1
tiếp theo ta xét b >= 2
c.1. xét a > b
a*[a*(b - 1) - 1] >= a*[a*(2 - 1) - 1] = a*(a - 1) > 2*(2 - 1) = 2 > 1
=> a^2(b - 1) - a > 1
=> a^2b - 1 > a + a^2 > a + b^2
=> a + b^2 không thể chia hết cho a^2b - 1
c.2. xét a = b
a^3 - 1 = (a - 1)(a ^2 + a + 1) > (a ^2 + a + 1) > a + a^2
=> a + a^2 không chia hết cho a^3 - 1
c.3 xét a < b
"(a + b^2) chia hết cho (a^2b - 1)"
<=> "(a^3 + a^2*b^2) chia hết cho (a^2b - 1)"
<=> "(a^3 + b) + b*(a^2*b - 1) chia hết cho (a^2b - 1)"
<=> "(a^3 + b) chia hết cho (a^2b - 1)" **
Ta cm ** sai
(a + 1)(a^2 - 1) = (a + 1)(a^2 - a + a - 1) > (a + 1)(a^2 - a + 1) (do a - 1 > 1) = a^3 + 1
=> b >= (a + 1) > (a^3 + 1)/(a^2 - 1)
=> b(a^2 - 1) > a^3 + 1
=> a^2b - 1 > a^3 + b
vậy (a^3 + b) không thể chia hết cho (a^2b - 1) tức ** sai.
*mina*
AQ
9
16 tháng 10 2015
Theo đề bài a+b2⋮a2b−1
\(\Rightarrow\) ∃ k∈ N* : a+b2=k(a2b−1)
\(\Leftrightarrow\) a+k=b(ka2−b)
Đặt m=ka2−b (m\(\in\)Z) thì ta được a+k=mb
Mặt khác do a,k,b \(\in\) N* nên cho ta m\(\in\)N*
Từ đó ta có:
(m−1)(b−1)=mb−m−b+1=a+k−ka2+1=(a+1)(k−ka+1)
Vì m,b ∈ N* nên (m−1)(b−1) ≥ 0
\(\Rightarrow\) (a+1)(k−ka+1) ≥ 0 \(\Rightarrow\) (k−ka+1)≥ 0
\(\Rightarrow\) 1 ≥ k(a−1)
Lúc này vì k,a ∈ N* nên a−1 ≥ 0. Suy ra chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: k(a−1)=0 ⇒ a−1=0 hay a=1
Thay a=1 vào đẳng thức (m−1)(b−1)=(a+1)(k−ka+1) ta được
(m−1)(b−1)=2 ⇒ b−1=1∨b−1=2 ⇒ b=2∨b=3
Trường hợp 2: k(a−1)=1 ⇒ k=a−1=1 hay k=1∧a=2
Thay k=1 và a=2 vào đẳng thức (m−1)(b−1)=(a+1)(k−ka+1) ta được
(m−1)(b−1)=0 ⇒ m−1=0∨b−1=0 ⇒ m=1∨b=1
Nếu như m=1 thì từ đẳng thức a+k=mb cho ta b=3
Vậy có 4 cặp số nguyên dương (a,b) thỏa yêu cầu bài toán là (1,2);(1,3);(2,1);(2,3)
