1. Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a b c=1_{ }\end{matrix}\right.\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a b} \sqrt{b c} \sqrt{c a}\le\sqrt{6}\) 2. Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge3\\b\ge4\\c\ge2\end{ma...

LN

Lâm Nhật Bảo Lam

20 tháng 2 2018

1. Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a+b+c=1_{ }\end{matrix}\right.\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\) 2. Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge3\\b\ge4\\c\ge2\end{matrix}\right.\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\dfrac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{2\sqrt{2}}\) 3. Cho \(x,y0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

AK

Anh Khương Vũ Phương

22 tháng 4 2018

Cho a, b, c thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge3\\b\ge4\\c\ge2\end{matrix}\right.\)

Tìm Max \(y=\dfrac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ac\sqrt{b-4}}{abc}\)

#Toán lớp 9

1

MD

Mỹ Duyên

22 tháng 4 2018

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{c-2}}{c}+\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\)

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{c-2}}{c}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{c-2}-\sqrt{2}\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}};\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow y\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4}\) và dấu ''='' xảy ra khi c = 4; a = 6; b = 8

Đúng(0)

LD

Lê Đức Lương

26 tháng 5 2022

Hai số a,b thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a,b>0\\\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)\ge4\end{matrix}\right.\)

Chứng minh \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge2\)

#Toán lớp 9

1

DD

Đoàn Đức Hà

Giáo viên

26 tháng 5 2022

Ta có:

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

Đúng(1)

NA

Nguyễn An

23 tháng 8 2021

cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\abc\ge1\end{matrix}\right.\)

chứng minh: \(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\) ≤\(\sqrt{2}\)(a+b+c)

#Toán lớp 9

0

HN

Hà Nguyễn Thu

11 tháng 8 2017

cho\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge2\\b\ge3\\c\ge6\end{matrix}\right.\)

tìm max p= \(\dfrac{bc\sqrt{a-2}+ca\sqrt[3]{b-3}+ab\sqrt[4]{c-6}}{abc}\)

#Toán lớp 10

2

T

TFBoys

11 tháng 8 2017

\(P=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a}+\dfrac{\sqrt[3]{b-3}}{b}+\dfrac{\sqrt[4]{c-6}}{c}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\left(a-2\right).2}}{a\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt[3]{\left(b-3\right).\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}}}{b\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{\sqrt[4]{\left(c-6\right).2.2.2}}{c\sqrt[3]{8}}\)

\(\le\dfrac{a-2+2}{2a\sqrt{2}}+\dfrac{b-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}}{3b\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{c-6+2+2+2}{4c\sqrt[4]{8}}\)

\(=\dfrac{a}{2a\sqrt{2}}+\dfrac{b}{3b\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{c}{4c\sqrt[4]{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{8}}\)

Vậy \(P_{max}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{8}}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=2\\b-3=\dfrac{3}{2}\\c-6=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=\dfrac{9}{2}\\c=8\end{matrix}\right.\)

Đúng(0)

LF

Lightning Farron

11 tháng 8 2017

\(P=\dfrac{bc\sqrt{a-2}+ac\sqrt[3]{b-3}+ab\sqrt[4]{c-6}}{abc}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a}+\dfrac{\sqrt[3]{b-3}}{b}+\dfrac{\sqrt[4]{c-6}}{c}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(=\dfrac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\dfrac{\sqrt[3]{2\left(b-3\right)}}{\sqrt[3]{2}b}+\dfrac{\sqrt[4]{2\left(c-6\right)}}{\sqrt[4]{2}c}\)

\(\le\dfrac{\dfrac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\dfrac{\dfrac{2+b-3+1}{3}}{\sqrt[3]{2}b}+\dfrac{\dfrac{2+c-6+1+1+1+1}{4}}{\sqrt[4]{2}c}\)

\(=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{2}a}+\dfrac{\dfrac{b}{3}}{\sqrt[3]{2}b}+\dfrac{\dfrac{c}{4}}{\sqrt[4]{2}c}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{2}}\)

Đúng(0)

MD

Miner Đức

25 tháng 1 2021

1) y = \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x-2}\)

2) a) cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+2b+3c=14\end{matrix}\right.\)

tìm Pmin với P = a²+b²+c²

b)cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a^2+4ab+9c^2=2015\end{matrix}\right.\)

tìm Pmax với P = a+b+c

#Toán lớp 10

2

TM

Trần Minh Hoàng

25 tháng 1 2021

2: Điểm rơi... đẹp!

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+4\ge4b\\c^2+9\ge6c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+14\ge2\left(a+2b+3c\right)=28\).

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge14\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 3.

Đúng(3)

TM

Trần Minh Hoàng

25 tháng 1 2021

1: Ta có \(y^2\ge6-x+x-2=4\Rightarrow y\ge2\).

Đẳng thức xảy ra khi x = 6 hoặc x = 2

\(y^2\le2\left(6-x+x-2\right)=8\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = 4.

Đúng(2)

NV

Nguyễn Vi

1 tháng 5 2019

Tập nghiệm của bất phương trình (x2-3x)\(\sqrt{2x^2-3x-2}\ge0\)...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

2 tháng 5 2019

Mình đã giải đã có ở đây:

Câu hỏi của Nguyễn Vi - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Đáp án A.

Đúng(0)

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

tìm \(MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

#Toán lớp 10

2

TM

Trần Minh Hoàng

14 tháng 2 2021

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).

Đúng(2)

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

undefined

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

Đúng(0)

MH

michelle holder

22 tháng 11 2017

cho a,b,c thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\end{matrix}\right.\) chứng minh rằng\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{\sqrt{c}}\)

#Toán lớp 10

1

N

Neet

25 tháng 11 2017

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)

thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)

Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:

\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Đúng(0)

HN

Hà Nguyễn Thu

10 tháng 8 2017

cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca\ge3\end{matrix}\right.\)

cmr \(\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

#Toán lớp 10

2

FL

Feed Là Quyền Công Dân

10 tháng 8 2017

Ta có BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Lợi dụng BĐT Cauchy-Schwarz tao cso:

\(VT^2=\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+9\right)\)

\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+9\right)\)

Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\left(t\ge3\right)\) thì cần chứng minh:

\(3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+9\right)\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+9\right)\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(t+9\right)\le4t^2\Leftrightarrow-\left(t-3\right)\left(4t+9\right)\le0\) (Đúng)

Đúng(0)

LF

Lightning Farron

10 tháng 8 2017

Ta có BĐT \(3\le ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

Và BĐT: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\le\sqrt{9}=3\le a^2+b^2+c^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+9\right)\)

\(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[a^2+b^2+c^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\)

\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)=VP^2\)

Xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP